Частные производные

Частной производной (1-ого порядка) функции в точке по переменной называется предел , если этот предел существует. Частную производную обозначают или .

Частные производные вычисляются по обычным правилам дифференцирования функции одной переменной, в предположении, что все аргументы функции, кроме аргумента , по которому берётся производная, постоянны.

Частными производными второго порядка функции называются частные производные от её частных производных первого порядка. При этом используются обозначения:

, ().

Производные () называются смешанными. Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка выше второго. Для функции частные производные обозначаются:

, , , , , ,… или ,….

Если смешанные частные производные, подлежащие вычислению, непрерывны, то результат многократного дифференцирования функции по различным переменным не зависит от порядка дифференцирования.

В задачах 6.22-6.32 найти частные производные от следующих функций:

6.22. 6.23.

6.24. 6.25. 6.26. 6.27. 6.28. 6.29. 6.30. 6.31. 6.32.

В задачах 6.33-6.34 найти частные производные от следующих функций:

6.33. 6.34.

6.35 Проверить равенство , если

А); б).

6.36 Проверить равенство , если

В задачах 6.37-6.40 найти указанные частные производные:

6.37 , если . 6.38 , если . 6.39 ,если . 6.40 ,если .