Теорема 2.7

Пусть f (x)- монотонная и ограниченная на полупрямой (а, + ¥), тогда существует f (x).

Доказательство:

Пусть, для определённости f (x) не убывает и ограничена сверху на (а, + ¥). Тогда она имеет на (а, + ¥) точную верхнюю грань. Введём обозначение: f (x) = b. Докажем, что f (x) = b.

Зададим произвольное e > 0 и рассмотрим число b - e < b, по определнию точной верхней грани $ А: f (A) > b - e. Так как f (x) ³ f(a) при x ³ A, то f (x) > b - e при x ³ A, или b - f (x) < e при x ³ A, то есть | f (x) - b | < e при x ³ A. а это и означает, что f (x) = b.