Криволинейные интегралы первого рода

Пусть кривая C описывается векторной функцией , где переменная s представляет собой длину дуги кривой (рисунок 1).

Если на кривой C определена скалярная функция F, то интеграл называется криволинейным интегралом первого рода от скалярной функции F вдоль кривой C и обозначается как

Криволинейный интеграл существует, если функция F непрерывна на кривой C.

Рис.1 Рис.2

Свойства криволинейного интеграла первого рода

Криволинейный интеграл I рода обладает следующими свойствами:

1)Интеграл не зависит от ориентации кривой;

2)Пусть кривая C1 начинается в точке A и заканчивается в точке B, а кривая C2 начинается в точке B и заканчивается в точке D (рисунок 2). Тогда их объединением будет называться кривая C1 U C2, которая проходит от A к B вдоль кривой C1 и затем от B к D вдоль кривой C2. Для криволинейных интегралов первого рода справедливо соотношение

3) Если гладкая кривая C задана параметрически соотношением и скалярная функция F непрерывна на кривой C, то

4) Если C является гладкой кривой в плоскости Oxy, заданной уравнением , то

5) Если гладкая кривая C в плоскости Oxy определена уравнением, то

6) В полярных координатах интеграл выражается формулой

где кривая C задана в полярных координатах функцией .