Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

1) Задача о нахождении площади криволинейной трапеции.

Определение: криволинейная трапеция – плоская фигура ограниченная линиями , , , . -положительная и непрерывная на отрезке [a,b].

Разобьем промежуток [a;b] произвольно на n частей с длинами

Получим n-криволинейную трапецию, основание , , .

построим прямоугольник с основанием и высотой .

, где (меняется от 1 до n)

(получим приближенное значение S криволинейной трапеции)

(Интегральная сумма)

2) Задача о вычислении длины пути по заданной скорости.

Пусть точка движется прямолинейно вдоль числовой оси ,

Смещение (.)-и за малые промежутки времени.

Смещение ,

1. Разобьем промежуток [a;b] произвольно на n частей с длинами

2. В каждом промежутке выберем точку (ξ) и вычислим значение функции в каждой из этих точек, получим значения (ξ)

3. Эти значения умножим на длины соответствующих промежутков , а полученные произведения сложим, получится сумма

которая называется интегральной суммой функции на данном промежутке

Определенным интегралом от функции у= на называется конечный предел соответствующей интегральной суммы при неограниченном увеличении числа разбиений промежутка на части (nàoo) и стремлении длин всех частичных промежутков к нулю (х_i à0)

если предел конечен и не зависит от разбиений и выбора точки

, где - подынтегральная функция.

-подынтегральное выражение. а- нижний предел интегрирования. в- верхний предел интегрирования. d- длина наибольшего из отрезков разбиения.