Приложения кратных интегралов

1. Геометрические приложения двойных интегралов.

1) − площадь плоской области D.

Пример. Вычислить площадь эллипса: x2/a2 + y2/b2 = 1. {S = πab }

Указание: перейти к обобщенной полярной системе координат: x = aρcosφ, y = bρsinφ; J = abρ.

2) - объем цилиндра с основанием D (на плоскости XOY), образующей

параллельной оси OZ и ограниченного сверху поверхностью .

3) Площадь поверхности.

Пусть некоторая поверхность Р описывается уравнением , где D – ограниченная область плоскости с кусочно-гладкой границей, а функция имеет

непрерывные частные производные на

Формула для вычисления площади поверхности имеет вид: { Разрежем область D на частичные (см.§1) области Di и возьмем на каждой из них произвольную

т.(xi,yi). На поверхности Р им будут соответствовать частичная поверхность Рi и т.ζi(xi,yi,zi).

Построим касательную плоскость в т.ζi. Вертикальный цилиндр с основанием Di вырежет на

касательной плоскости область Ki. Предел суммы площадей Ki при стремлении к нулю

диаметров областей Di принимается (по определению) за площадь поверхности Р. Из уравнения

касательной плоскости: pi(X-xi)+qi(Y-yi) – (Z-zi)=0 следует, что нормаль ni=(pi,qi,-1), а направляющий косинус к оси OZ: cosγi=1/ . Так как площадь S(Di)=S(Ki)cosγi,

то элемент площади поверхности Р будет равен :dxdy. Отсюда и получается указанная формула}

Пример. Вычислить площадь части поверхности x2+y2=4z, вырезаемую цилиндром (x2+y2)2=8xy.

{В полярных координатах цилиндр записывается уравнением а подынтегральная функция равна: Учитывая симметрию задачи, площадь поверхности получается равной: }