Дифференциальные уравнения второго порядка. Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка имеет следующий общий вид

Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка имеет следующий общий вид

F(x,y,y ‘,y ‘’)=0 или .

Наше знакомство с дифференциальными уравнениями второго порядка будет ограничено рассмотрением линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y ‘+py ‘’+qy=h(x),

где p и q – числа, h(x) – некоторая функция от x.

Если в этом уравнении , то оно называется однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Рассмотрим решение однородного уравнения

.

Этому явлению может быть поставлено в соответствие квадратное уравнение вида ,

Называемое характеристическим. Его корни , как известно, определяются формулами

.

Возможны следующие три случая для вида корней этого уравнения: 1) корни уравнения – действительные и различные; 2) корни – действительные и равные; 3) корни уравнения – комплексно-сопряженные. Для каждого из этих случаев однородное дифференциальное уравнение имеет свой вид общего интеграла.

Случай 1. Дискриминант характеристического уравнения положителен, т.е. p 2 -4q>0. Тогда оба корня действительные и различные. В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид

,

где c 1, c 2 – произвольные постоянные.

Действительно, если , то , . Подставляя выражения для y,y / и y // в уравнение получим

.

Случай 2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю, т.е p 2 -4q=0.

Тогда оба корня действительные и равные, т.е. .

В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид

.

Случай 3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен, т.е. p 2 -4q<0.

Тогда говорят, что квадратное уравнение не имеет действительных корней (или что оба корня являются комплексно-сопряженными). В этом случае, обозначая , общее решение однородного уравнения дается в виде

.

Рассмотрим теперь решение неоднородного уравнения

y’’+py’+g(y)h(x),

где h(x) – некоторая функция от x.

Пусть в этом уравнении q=0, тогда, используя подстановку y’=z, y’’=z’, приходим к решению линейного дифференциального уравнения первого порядка z’+pz=h(x).