![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
☺☺
Пример 5 – 17: Даны две одинаковые зубчатые шестерни эллиптической формы. Одна из них насажена на ведущий вал (передаёт вращающий момент), а вторая на ведомый (такая конструкция называется редуктором). Вычертить механизм зубчатой передачи и проанализировать кинематику её движения.
Решение:
1). В соответствии с рисунком будем считать, что ведущий вал зубчатого зацепления помещён в фокус нижней шестерёнки, а ведомый вал закреплён в фокусе
верхней. Для работы зубчатой передачи необходимо, чтобы расстояние
было неизменным. Это значит, что выполняется равенство:
=
.
2). Из условия: =
следует, что отрезки
и
принадлежат одной прямой. Тогда
=
и
=
. Из этого следует, что одновременно:
=
и отрезки
и
также принадлежат одной прямой.
3). Из полученных в пункте 2) результатов имеем: прямая есть общая касательная находящихся в зацеплении шестерёнок.
4). Теперь не представляет большого труда вычертить механизм зубчатого зацепления. Вычерчивание верхнего эллипса (шестерёнки) выполняем сжатием окружности радиуса . На нижней дуге эллипса выбираем точку
: произвольно, но не посередине дуги (для красоты!). На прямой:
, отмечаем точку
. Аналогично строим точку
. Середина отрезка
определяет центр нижнего эллипса (и вспомогательной окружности!). Вычерчиваем нижний эллипс. Рисунок готов!
5). Учтём, что вектор скорости точки направлен по общей касательной эллипсов, а плечи этого вектора
относительно оси вращения
и
относительно оси вращения
постоянно изменяются. Это значит, что при постоянной угловой скорости ведущей шестерёнки ведомая шестерёнка будет вращаться с переменной угловой скоростью. Это свойство редуктора с эллиптическими шестерёнками используют в конструкциях разных станков, например строгальных!
Ответ: в тексте обосновано построение чертежа и проанализированы кинематические особенности эллиптического зубчатого зацепления (редуктора).
☻
Найдём условия того, что прямая :
касается эллипса
, то есть совпадает с касательной эллипса
:
=
в точке
.
Известно, что две прямые и
совпадают, если
=
=
. В нашем случае это условие принимает вид:
, откуда
=
и
=
. Так как точка
принадлежит
, то выполняется равенство:
, или:
. (26)
Итак, мы имеем необходимое условие (26) касания заданной прямой заданного эллипса. Будет ли это условие достаточным? Пусть условие (26) выполняется. Перепишем его в виде:
.
Последнее означает, что точка: =
,
=
принадлежит эллипсу. Подставим координаты точки
в уравнение касательной эллипса, то есть в уравнение:
=0. Получаем:
. Это значит, если условие (26) выполняется, то прямая
есть касательная эллипса. Таким образом, условие (26) есть необходимое и достаточное условие того, что
касается эллипса.
☺☺
Пример 5 – 18: Найти уравнения касательных к эллипсу , параллельных прямой
:
. Найти расстояние между касательными.
Решение:
1). Уравнение касательной должно иметь вид :
=
, причём за счёт выбора соответствующего значения параметра
можно добиться совпадения:
=
. Если воспользоваться условием (26):
, то для данного примера получим равенство:
, откуда значение параметра
=
24.
2). Как и следовало ожидать (из геометрических соображений!), у эллипса нашлось две касательные, параллельные заданному направлению. Одна
:
и вторая
:
.
3). Найдём расстояние от точки (0,0) до касательной
. Для этого воспользуемся отклонением:
=
. Из этого следует:
=
. Расстояние между касательными равно 2
=
.
Ответ: касательные :
и
:
, расстояние 2
=
.
Замечание: рассмотренный пример можно было решить традиционным способом: найти производную неявно заданной функции и, приравняв её заданному прямой
угловому коэффициенту, из полученного равенства вычислить координаты точки касания
; затем из условия принадлежности
касательной
вычислить параметр
! Здорово?
☻
Гипербола. Так как для гиперболы в общем уравнении: A = , B =–
, C =0, то выражение для углового коэффициента касательной (22) принимает вид:
=
.
Уравнение касательной в точке запишем, используя уравнение
:
или
=
.
Уравнение касательной в точке запишем, используя уравнение
:
Так как точка принадлежит гиперболе, последнее равенство можно упростить, воспользовавшись тождеством:
=1. Окончательно имеем уравнение касательной к гиперболе:
:
=1. (27)
Свойство касательных гиперболы: касательные к гиперболе составляют равные углы с фокальными радиусами, проведёнными в точку касания.
Для доказательства свойства нам потребуется рассмотреть треугольники и
, а именно доказать, что они подобны.
Для нахождения отрезков и
нормализуем уравнение касательной:
, то есть уравнение:
или
. Для этого (вспомним!) необходимо умножить уравнение на множитель
со знаком
, если
, и со знаком
, если
. В нашем случае принимаем знак
, а величина множителя:
. Тогда нормированное уравнение касательной:
. Учитывая:
и
, найдём отклонения этих точек от касательной
:
=
и
=
, причём:
.
Условие: отражает тот факт, что фокусы гиперболы располагаются по разные стороны касательной, то есть находятся в разных полуплоскостях.
Докажем подобие треугольников и
для случая, когда точка принадлежит правой ветви гиперболы (используем симметрию кривой!). Тогда можем записать:
=
=
=
=
=
→ треугольники подобны.
Из подобия треугольников и
следует равенство углов:
и
. Свойство доказано.
Если вращать гиперболу вокруг её действительной оси, то получится гиперболическая поверхность – гиперболоид (это подробно рассматривается в Главе 6!). Если сделать эту поверхность изнутри зеркальной, то (вспомним раздел физики – оптику!) лучи, испускаемые источником, помещённым в одном из фокусов, будем наблюдать так (по направлению ), будто их излучает другой фокус (мнимое изображение первого фокуса!). Имеет место расходящийся пучок лучей!
Замечание: полученный для гиперболоида результат превращает грозное оружие инженера Гарина – гиперболоид инженера Гарина в безобидную игрушку!
Найдём условия того, что прямая :
касается гиперболы
, то есть совпадает с касательной гиперболы
:
=
в точке
.
Известно, что две прямые и
совпадают, если
=
=
. В нашем случае это условие принимает вид:
, откуда
=
и
=
. Так как точка
принадлежит
, то выполняется равенство:
, или:
. (27)
Итак, мы имеем необходимое условие (27) касания заданной прямой заданной гиперболы. Будет ли это условие достаточным? Пусть условие (27) выполняется. Перепишем его в виде:
.
Последнее означает, что точка: =
,
=
принадлежит гиперболе. Подставим координаты точки
в уравнение касательной гиперболы, то есть в уравнение:
=0. Получаем:
. Это значит, если условие (27) выполняется, то прямая
есть касательная гиперболы. Таким образом, условие (27) есть необходимое и достаточное условие того, что
касается гиперболы.
Замечание: легко заметить, что условие (27) невозможно, если ; этому условию геометрически соответствуют все случаи, когда угловой коэффициент прямой
попадает в диапазон, определяемый асимптотами гиперболы:
.
☺☺
Пример 5 – 19: Найти уравнения касательных к гиперболе , параллельных прямой
:
.
Решение:
1). Уравнение касательной должно иметь вид :
=
, причём за счёт выбора соответствующего значения параметра
можно добиться совпадения прямой
с касательной
. Проверим выполнимость условия (27):
. Угловой коэффициент прямой
равен
>
→ касательная существует, и условие (27) выполняется.
2). Воспользуемся условием: . В данном примере:
=
. Значение параметра
=
32.
3). Как и следовало ожидать (из геометрических соображений!), у гиперболы нашлось две касательные, параллельные заданному направлению. Одна :
и вторая
:
.
Ответ: касательные одна :
и вторая
:
.
Замечание: важно не пропустить проверку углового коэффициента прямой : возможно не потребуется находить касательную!
☻
Парабола. Так как для гиперболы в общем уравнении: A =0, B =1, C =– p, то выражение для углового коэффициента касательной (22) принимает вид: =
.
Уравнение касательной в точке запишем, используя уравнение
:
или
.
Так как точка принадлежит параболе, последнее равенство можно упростить, воспользовавшись тождеством:
. Окончательно имеем уравнение касательной к параболе
:
, или
. (28)
Свойство касательных параболы: касательные к параболе составляют равные углы с фокальным радиусом параболы и прямой, параллельной оси параболы, и проходящей через точку касания параболы. В соответствии с рисунком это значит, что угол равен углу между касательной
и прямой
, параллельной оси
.
Для доказательства свойства нам потребуется рассмотреть треугольник и доказать, что он равнобедренный.
Обозначим:
. Учитывая уравнение касательной (28) получаем:
=–
. В то же время у параболы:
=
+
. Вычислим также:
=
+
=
+
. Доказано, что треугольник
равнобедренный. Из этого следует, что угол
=
=
. Но углы
и
равны как углы с параллельными сторонами. Из этого следует равенство углов
=
=
. Свойство доказано!
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 373 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!