Общие свойства кривых второго порядка. 3 страница

☺☺

Пример 5 – 17: Даны две одинаковые зубчатые шестерни эллиптической формы. Одна из них насажена на ведущий вал (передаёт вращающий момент), а вторая на ведомый (такая конструкция называется редуктором). Вычертить механизм зубчатой передачи и проанализировать кинематику её движения.

Решение:

1). В соответствии с рисунком будем считать, что ведущий вал зубчатого зацепления помещён в фокус нижней шестерёнки, а ведомый вал закреплён в фокусе верхней. Для работы зубчатой передачи необходимо, чтобы расстояние было неизменным. Это значит, что выполняется равенство: = .

2). Из условия: = следует, что отрезки и принадлежат одной прямой. Тогда = и = . Из этого следует, что одновременно: = и отрезки и также принадлежат одной прямой.

3). Из полученных в пункте 2) результатов имеем: прямая есть общая касательная находящихся в зацеплении шестерёнок.

4). Теперь не представляет большого труда вычертить механизм зубчатого зацепления. Вычерчивание верхнего эллипса (шестерёнки) выполняем сжатием окружности радиуса . На нижней дуге эллипса выбираем точку : произвольно, но не посередине дуги (для красоты!). На прямой: , отмечаем точку . Аналогично строим точку . Середина отрезка определяет центр нижнего эллипса (и вспомогательной окружности!). Вычерчиваем нижний эллипс. Рисунок готов!

5). Учтём, что вектор скорости точки направлен по общей касательной эллипсов, а плечи этого вектора относительно оси вращения и относительно оси вращения постоянно изменяются. Это значит, что при постоянной угловой скорости ведущей шестерёнки ведомая шестерёнка будет вращаться с переменной угловой скоростью. Это свойство редуктора с эллиптическими шестерёнками используют в конструкциях разных станков, например строгальных!

Ответ: в тексте обосновано построение чертежа и проанализированы кинематические особенности эллиптического зубчатого зацепления (редуктора).

☻

Найдём условия того, что прямая : касается эллипса , то есть совпадает с касательной эллипса : = в точке .

Известно, что две прямые и совпадают, если = = . В нашем случае это условие принимает вид: , откуда = и = . Так как точка принадлежит , то выполняется равенство: , или:

. (26)

Итак, мы имеем необходимое условие (26) касания заданной прямой заданного эллипса. Будет ли это условие достаточным? Пусть условие (26) выполняется. Перепишем его в виде:

.

Последнее означает, что точка: = , = принадлежит эллипсу. Подставим координаты точки в уравнение касательной эллипса, то есть в уравнение: =0. Получаем: . Это значит, если условие (26) выполняется, то прямая есть касательная эллипса. Таким образом, условие (26) есть необходимое и достаточное условие того, что касается эллипса.

☺☺

Пример 5 – 18: Найти уравнения касательных к эллипсу , параллельных прямой : . Найти расстояние между касательными.

Решение:

1). Уравнение касательной должно иметь вид : = , причём за счёт выбора соответствующего значения параметра можно добиться совпадения: = . Если воспользоваться условием (26): , то для данного примера получим равенство: , откуда значение параметра = 24.

2). Как и следовало ожидать (из геометрических соображений!), у эллипса нашлось две касательные, параллельные заданному направлению. Одна : и вторая : .

3). Найдём расстояние от точки (0,0) до касательной . Для этого воспользуемся отклонением: = . Из этого следует: = . Расстояние между касательными равно 2 = .

Ответ: касательные : и : , расстояние 2 = .

Замечание: рассмотренный пример можно было решить традиционным способом: найти производную неявно заданной функции и, приравняв её заданному прямой угловому коэффициенту, из полученного равенства вычислить координаты точки касания ; затем из условия принадлежности касательной вычислить параметр ! Здорово?

☻

Гипербола. Так как для гиперболы в общем уравнении: A = , B =– , C =0, то выражение для углового коэффициента касательной (22) принимает вид: = .

Уравнение касательной в точке запишем, используя уравнение :

или = .

Уравнение касательной в точке запишем, используя уравнение :

Так как точка принадлежит гиперболе, последнее равенство можно упростить, воспользовавшись тождеством: =1. Окончательно имеем уравнение касательной к гиперболе: : =1. (27)

Свойство касательных гиперболы: касательные к гиперболе составляют равные углы с фокальными радиусами, проведёнными в точку касания.

Для доказательства свойства нам потребуется рассмотреть треугольники и , а именно доказать, что они подобны.

Для нахождения отрезков и нормализуем уравнение касательной: , то есть уравнение: или . Для этого (вспомним!) необходимо умножить уравнение на множитель со знаком , если , и со знаком , если . В нашем случае принимаем знак , а величина множителя: . Тогда нормированное уравнение касательной: . Учитывая: и , найдём отклонения этих точек от касательной :

= и = , причём: .

Условие: отражает тот факт, что фокусы гиперболы располагаются по разные стороны касательной, то есть находятся в разных полуплоскостях.

Докажем подобие треугольников и для случая, когда точка принадлежит правой ветви гиперболы (используем симметрию кривой!). Тогда можем записать:

= = = = = → треугольники подобны.

Из подобия треугольников и следует равенство углов: и . Свойство доказано.

Если вращать гиперболу вокруг её действительной оси, то получится гиперболическая поверхность – гиперболоид (это подробно рассматривается в Главе 6!). Если сделать эту поверхность изнутри зеркальной, то (вспомним раздел физики – оптику!) лучи, испускаемые источником, помещённым в одном из фокусов, будем наблюдать так (по направлению ), будто их излучает другой фокус (мнимое изображение первого фокуса!). Имеет место расходящийся пучок лучей!

Замечание: полученный для гиперболоида результат превращает грозное оружие инженера Гарина – гиперболоид инженера Гарина в безобидную игрушку!

Найдём условия того, что прямая : касается гиперболы , то есть совпадает с касательной гиперболы : = в точке .

Известно, что две прямые и совпадают, если = = . В нашем случае это условие принимает вид: , откуда = и = . Так как точка принадлежит , то выполняется равенство: , или:

. (27)

Итак, мы имеем необходимое условие (27) касания заданной прямой заданной гиперболы. Будет ли это условие достаточным? Пусть условие (27) выполняется. Перепишем его в виде:

.

Последнее означает, что точка: = , = принадлежит гиперболе. Подставим координаты точки в уравнение касательной гиперболы, то есть в уравнение: =0. Получаем: . Это значит, если условие (27) выполняется, то прямая есть касательная гиперболы. Таким образом, условие (27) есть необходимое и достаточное условие того, что касается гиперболы.

Замечание: легко заметить, что условие (27) невозможно, если ; этому условию геометрически соответствуют все случаи, когда угловой коэффициент прямой попадает в диапазон, определяемый асимптотами гиперболы: .

☺☺

Пример 5 – 19: Найти уравнения касательных к гиперболе , параллельных прямой : .

Решение:

1). Уравнение касательной должно иметь вид : = , причём за счёт выбора соответствующего значения параметра можно добиться совпадения прямой с касательной . Проверим выполнимость условия (27): . Угловой коэффициент прямой равен > → касательная существует, и условие (27) выполняется.

2). Воспользуемся условием: . В данном примере: = . Значение параметра = 32.

3). Как и следовало ожидать (из геометрических соображений!), у гиперболы нашлось две касательные, параллельные заданному направлению. Одна : и вторая : .

Ответ: касательные одна : и вторая : .

Замечание: важно не пропустить проверку углового коэффициента прямой : возможно не потребуется находить касательную!

☻

Парабола. Так как для гиперболы в общем уравнении: A =0, B =1, C =– p, то выражение для углового коэффициента касательной (22) принимает вид: = .

Уравнение касательной в точке запишем, используя уравнение :

или .

Так как точка принадлежит параболе, последнее равенство можно упростить, воспользовавшись тождеством: . Окончательно имеем уравнение касательной к параболе : , или . (28)

Свойство касательных параболы: касательные к параболе составляют равные углы с фокальным радиусом параболы и прямой, параллельной оси параболы, и проходящей через точку касания параболы. В соответствии с рисунком это значит, что угол равен углу между касательной и прямой , параллельной оси .

Для доказательства свойства нам потребуется рассмотреть треугольник и доказать, что он равнобедренный.

Обозначим: . Учитывая уравнение касательной (28) получаем: =– . В то же время у параболы: = + . Вычислим также: = + = + . Доказано, что треугольник равнобедренный. Из этого следует, что угол = = . Но углы и равны как углы с параллельными сторонами. Из этого следует равенство углов = = . Свойство доказано!