![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Директрисы кривых второго порядка. Все кривые 2-го порядка имеют директрису: прямая, по отношению к которой эллипс, гипербола и парабола имеют особые свойства. Использование директрисы в случае параболы мы видели в самом определении параболы.
При получении канонических уравнений эллипса, гиперболы и параболы было установлено понятие эксцентриситета – , причём:
а). < 1 → для эллипса; б).
= 1 → для параболы; в).
> 1 → для гиперболы.
Общее определение. Кривой второго порядка называют геометрическое место точек
плоскости, обладающих свойством: расстояние от точки
до точки
, называемой фокусом, равно расстоянию точки
до прямой
, называемой директрисой, умноженному на некоторое число
– эксцентриситет.
Замечание: Определение кривых 2-го порядка с использованием директрисы не позволяет принять =0, хотя раньше такое значение эксцентриситета выделяло частный случай эллипса – окружность!
Из общего определения кривых второго порядка с использованием директрисы и эксцентриситета следует: директриса и кривая второго порядка не могут пересекаться!
Определим директрису для эллипса.
При рассмотрении канонического уравнения эллипса было установлено: кривая симметрична относительно осей и
. Это означает, что эллипс должен иметь две, симметрично расположенные относительно оси
, директрисы. Обозначим эти директрисы, как
и
.
В соответствии с определением, для левой директрисы имеем: =
·
. Но, для эллипса:
=
и
=
. Легко видеть, что в этом случае:
. Это значит, что
и уравнение левой директрисы:
.
Для правой директрисы: =
и
=
. Используя условие:
=
·
, получаем такое же значение параметра:
и уравнение правой директрисы:
.
Если учесть, что для эллипса <1, то
. Это подтверждает предположение, что кривая и директриса не пересекаются!
Определим директрису для гиперболы.
При рассмотрении канонического уравнения гиперболы было установлено: кривая симметрична относительно осей
и
. Это означает, что гипербола должна иметь две, симметрично расположенные относительно оси
, директрисы. Обозначим эти директрисы, как
и
.
В соответствии с определением, для левой директрисы имеем: =
·
. Но, для левой ветви гиперболы было получено:
=
, а
=
. Легко видеть, что в этом случае:
. Это значит, что
и уравнение левой директрисы:
.
Для правой директрисы: =
и
=
. Используя условие:
=
·
, получаем такое же значение параметра:
и уравнение правой директрисы:
.
Если учесть, что для гиперболы >1, то
. Это подтверждает предположение, что кривая и директриса не пересекаются!
☺☺
Пример 5 – 09: Дан эллипс: . Определить его полуоси, фокусы, эксцентриситет и директрисы.
Решение:
1). Приведём заданное уравнение эллипса к канонической форме: .
2). Тогда: =5,
=3, и можно вычислить:
=4,
=
=
, после чего:
=
=
.
Ответ: полуоси: =5,
=3, фокусы:
(–4,0) и
(4,0),
=
, директрисы:
=
.
Пример 5 – 10: Составить уравнение гиперболы, если её фокусы лежат на оси симметрично относительно начала координат и заданы:
1) точки (6,–1) и
(–8,2
), лежащие на гиперболе;
2) точка (–3,
) и уравнения директрис: x =
.
Решение:
1). Воспользуемся уравнением гиперболы: и учтём, что точки
и
лежат на кривой. Для точки
:
, для точки
:
. Решая полученную систему уравнений, получаем:
,
. Уравнение гиперболы:
.
2). Воспользуемся уравнением гиперболы и учтём, что точка лежит на гиперболе:
. Учитывая:
=
, из уравнения директрисы получаем:
=
, откуда:
=
×
.
3). Далее воспользуемся выражением для гиперболы: , или
. Если подставить значения
и
в уравнение:
, то получим уравнение относительно
:
, из которого следует
=3 и
=
.
4). Для =3 вычисляем:
=4 и
=5. Тогда уравнение гиперболы:
.
5). Если =
, то:
=
и
=
. В этом случае гипербола:
.
Ответ: в случае 1) ; в случае 2)
, или
.
☻
Диаметры кривых второго порядка. Продолжим исследование кривых второго порядка, используя общее для этих кривых уравнение: . Из этого уравнения получаем:
Окружность: при =
=1,
=0,
=–
; эллипс: при
=
,
=
,
=0,
=–1.
Гипербола: при =
,
=–
,
=0,
=–1; парабола: при
=0,
=1,
=– p,
=0.
Уравнение
будем использовать для решения вопросов о диаметрах и касательных для эллипса, гиперболы и параболы.
Если кривую 2-го порядка пересекать прямыми, параллельными :
, то получим хорды с угловым коэффициентом
. Если на каждой хорде выделить середину, то (оказывается!) все эти средние точки лежат на одной прямой
. Эту прямую
называют диаметром кривой второго порядка, сопряжённым хордам направления k.
Обозначим концы хорд:
и
, а точка
– середина хорды. Тогда, воспользовавшись формулами для вычисления координат середины отрезка, получим:
=
,
=
. (19)
Так как точки
и
принадлежат кривой, то, используя общее уравнение, можем записать:
и
. Составим разность последних равенств:
. (20)
Рассмотрим два случая:
1). Пусть
0. Разделим равенство (20) на 2
:
. Учитывая, что
– угловой коэффициент прямой, получаем:
. Если параметр
0, то последнее равенство есть прямая. Если
=0, но
0, то равенство
– тоже есть прямая, именно диаметр кривой второго порядка.
2). Пусть =0: это значит, что хорды параллельны оси
. В этом случае
0, и из уравнения (20) следует:
=0 – ось
.
Применим полученные результаты к окружности, эллипсу, гиперболе и параболе, используя их канонические уравнения.
Определим диаметры для окружности.
Пусть определяет направления хорд окружности. Учитывая, для окружности коэффициенты общего уравнения кривой второго порядка:
=
=1,
=0,
=–
, уравнение диаметра окружности принимает вид:
, или
=
=
. Так как произведение:
=–1, то у окружности хорды и соответствующий им диаметр взаимно перпендикулярны. Отметим также, что диаметр окружности как геометрическое место середин параллельных хорд проходит через начало координат.
Полученный для окружности результат можно было предвидеть, так как в элементарной геометрии было доказано: диаметр окружности, проходящий через середину хорды, ей перпендикулярен!
Определим диаметры для эллипса.
Учитывая, что эллипс – это сжатая окружность, из геометрических соображений можем предположить, что все диаметры эллипса проходят через начало координат .
Пусть определяет направления хорд эллипса. Учитывая, для эллипса коэффициенты общего уравнения кривой второго порядка:
=
,
=
,
=0,
=–1, уравнение диаметра эллипса принимает вид:
, или
=
=
. Так как произведение:
=–
симметрично относительно угловых коэффициентов
и
, то направления хорд и диаметров взаимно обратимы: если направление хорд определено угловым коэффициентом
, то направление диаметров определяется угловым коэффициентом
, и наоборот!
Два диаметра, угловые коэффициенты связаны соотношением: =–
, называются сопряжёнными.
Нетрудно заметить: если один из сопряжённых диаметров эллипса располагаются в 1-й и 3-й четвертях, то другой будет располагаться во 2-й и в 4-й четвертях.
Если значение углового коэффициента одного из сопряжённых диаметров увеличивается, то есть диаметр вращается против часовой стрелки, то второй вращается в том же направлении. Это совпадает с картиной вращения сопряжённых диаметров окружности.
Сопряжённые диаметры эллипса не могут совпасть: =
, так как невозможно равенство:
. Если
→0, то
→
. В этом случае сопряжённые диаметры совпадут с осями симметрии эллипса и будут взаимно перпендикулярными.
Определим диаметры для гиперболы.
Пусть
определяет направления хорд гиперболы. Учитывая, для гиперболы коэффициенты общего уравнения кривой второго порядка:
=
,
=–
,
=0,
=–1, уравнение диаметра гиперболы принимает вид:
, или
=
=
, откуда:
=
. Так как равенство симметрично относительно угловых коэффициентов
и
, то направления хорд и диаметров взаимно обратимы: если направление хорд определено угловым коэффициентом
, то направление диаметров определяется угловым коэффициентом
, и наоборот! Видим также, что угловые коэффициенты
и
одного знака.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 1552 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!