Общие свойства кривых второго порядка. 1 страница

Директрисы кривых второго порядка. Все кривые 2-го порядка имеют директрису: прямая, по отношению к которой эллипс, гипербола и парабола имеют особые свойства. Использование директрисы в случае параболы мы видели в самом определении параболы.

При получении канонических уравнений эллипса, гиперболы и параболы было установлено понятие эксцентриситета – , причём:

а). < 1 → для эллипса; б). = 1 → для параболы; в). > 1 → для гиперболы.

Общее определение. Кривой второго порядка называют геометрическое место точек плоскости, обладающих свойством: расстояние от точки до точки , называемой фокусом, равно расстоянию точки до прямой , называемой директрисой, умноженному на некоторое число – эксцентриситет.

Замечание: Определение кривых 2-го порядка с использованием директрисы не позволяет принять =0, хотя раньше такое значение эксцентриситета выделяло частный случай эллипса – окружность!

Из общего определения кривых второго порядка с использованием директрисы и эксцентриситета следует: директриса и кривая второго порядка не могут пересекаться!

Определим директрису для эллипса.

При рассмотрении канонического уравнения эллипса было установлено: кривая симметрична относительно осей и . Это означает, что эллипс должен иметь две, симметрично расположенные относительно оси , директрисы. Обозначим эти директрисы, как и .

В соответствии с определением, для левой директрисы имеем: = · . Но, для эллипса: = и = . Легко видеть, что в этом случае: . Это значит, что и уравнение левой директрисы: .

Для правой директрисы: = и = . Используя условие: = · , получаем такое же значение параметра: и уравнение правой директрисы: .

Если учесть, что для эллипса <1, то . Это подтверждает предположение, что кривая и директриса не пересекаются!

Определим директрису для гиперболы.

При рассмотрении канонического уравнения гиперболы было установлено: кривая симметрична относительно осей и . Это означает, что гипербола должна иметь две, симметрично расположенные относительно оси , директрисы. Обозначим эти директрисы, как и .

В соответствии с определением, для левой директрисы имеем: = · . Но, для левой ветви гиперболы было получено: = , а = . Легко видеть, что в этом случае: . Это значит, что и уравнение левой директрисы: .

Для правой директрисы: = и = . Используя условие: = · , получаем такое же значение параметра: и уравнение правой директрисы: .

Если учесть, что для гиперболы >1, то . Это подтверждает предположение, что кривая и директриса не пересекаются!

☺☺

Пример 5 – 09: Дан эллипс: . Определить его полуоси, фокусы, эксцентриситет и директрисы.

Решение:

1). Приведём заданное уравнение эллипса к канонической форме: .

2). Тогда: =5, =3, и можно вычислить: =4, = = , после чего: = = .

Ответ: полуоси: =5, =3, фокусы: (–4,0) и (4,0), = , директрисы: = .

Пример 5 – 10: Составить уравнение гиперболы, если её фокусы лежат на оси симметрично относительно начала координат и заданы:

1) точки (6,–1) и (–8,2 ), лежащие на гиперболе;

2) точка (–3, ) и уравнения директрис: x = .

Решение:

1). Воспользуемся уравнением гиперболы: и учтём, что точки и лежат на кривой. Для точки : , для точки : . Решая полученную систему уравнений, получаем: , . Уравнение гиперболы: .

2). Воспользуемся уравнением гиперболы и учтём, что точка лежит на гиперболе: . Учитывая: = , из уравнения директрисы получаем: = , откуда: = × .

3). Далее воспользуемся выражением для гиперболы: , или . Если подставить значения и в уравнение: , то получим уравнение относительно : , из которого следует =3 и = .

4). Для =3 вычисляем: =4 и =5. Тогда уравнение гиперболы: .

5). Если = , то: = и = . В этом случае гипербола: .

Ответ: в случае 1) ; в случае 2) , или .

☻

Диаметры кривых второго порядка. Продолжим исследование кривых второго порядка, используя общее для этих кривых уравнение: . Из этого уравнения получаем:

Окружность: при = =1, =0, =– ; эллипс: при = , = , =0, =–1.

Гипербола: при = , =– , =0, =–1; парабола: при =0, =1, =– p, =0.

Уравнение будем использовать для решения вопросов о диаметрах и касательных для эллипса, гиперболы и параболы.

Если кривую 2-го порядка пересекать прямыми, параллельными : , то получим хорды с угловым коэффициентом . Если на каждой хорде выделить середину, то (оказывается!) все эти средние точки лежат на одной прямой . Эту прямую называют диаметром кривой второго порядка, сопряжённым хордам направления k.

Обозначим концы хорд: и , а точка – середина хорды. Тогда, воспользовавшись формулами для вычисления координат середины отрезка, получим:

= , = . (19)

Так как точки и принадлежат кривой, то, используя общее уравнение, можем записать: и . Составим разность последних равенств: . (20)

Рассмотрим два случая:

1). Пусть 0. Разделим равенство (20) на 2 : . Учитывая, что – угловой коэффициент прямой, получаем: . Если параметр 0, то последнее равенство есть прямая. Если =0, но 0, то равенство – тоже есть прямая, именно диаметр кривой второго порядка.

2). Пусть =0: это значит, что хорды параллельны оси . В этом случае 0, и из уравнения (20) следует: =0 – ось .

Применим полученные результаты к окружности, эллипсу, гиперболе и параболе, используя их канонические уравнения.

Определим диаметры для окружности.

Пусть определяет направления хорд окружности. Учитывая, для окружности коэффициенты общего уравнения кривой второго порядка: = =1, =0, =– , уравнение диаметра окружности принимает вид: , или = = . Так как произведение: =–1, то у окружности хорды и соответствующий им диаметр взаимно перпендикулярны. Отметим также, что диаметр окружности как геометрическое место середин параллельных хорд проходит через начало координат.

Полученный для окружности результат можно было предвидеть, так как в элементарной геометрии было доказано: диаметр окружности, проходящий через середину хорды, ей перпендикулярен!

Определим диаметры для эллипса.

Учитывая, что эллипс – это сжатая окружность, из геометрических соображений можем предположить, что все диаметры эллипса проходят через начало координат .

Пусть определяет направления хорд эллипса. Учитывая, для эллипса коэффициенты общего уравнения кривой второго порядка: = , = , =0, =–1, уравнение диаметра эллипса принимает вид: , или = = . Так как произведение: =– симметрично относительно угловых коэффициентов и , то направления хорд и диаметров взаимно обратимы: если направление хорд определено угловым коэффициентом , то направление диаметров определяется угловым коэффициентом , и наоборот!

Два диаметра, угловые коэффициенты связаны соотношением: =– , называются сопряжёнными.

Нетрудно заметить: если один из сопряжённых диаметров эллипса располагаются в 1-й и 3-й четвертях, то другой будет располагаться во 2-й и в 4-й четвертях.

Если значение углового коэффициента одного из сопряжённых диаметров увеличивается, то есть диаметр вращается против часовой стрелки, то второй вращается в том же направлении. Это совпадает с картиной вращения сопряжённых диаметров окружности.

Сопряжённые диаметры эллипса не могут совпасть: = , так как невозможно равенство: . Если →0, то → . В этом случае сопряжённые диаметры совпадут с осями симметрии эллипса и будут взаимно перпендикулярными.

Определим диаметры для гиперболы.

Пусть определяет направления хорд гиперболы. Учитывая, для гиперболы коэффициенты общего уравнения кривой второго порядка: = , =– , =0, =–1, уравнение диаметра гиперболы принимает вид: , или = = , откуда: = . Так как равенство симметрично относительно угловых коэффициентов и , то направления хорд и диаметров взаимно обратимы: если направление хорд определено угловым коэффициентом , то направление диаметров определяется угловым коэффициентом , и наоборот! Видим также, что угловые коэффициенты и одного знака.