Общие свойства кривых второго порядка. 2 страница

Два диаметра, угловые коэффициенты связаны соотношением: = , называются сопряжёнными. Оба диаметра проходят в одной и той же четверти, причём если увеличивается, то должен уменьшаться. Это значит, что при изменении угловых коэффициентов сопряжённых диаметров гиперболы эти диаметры вращаются в противоположных направлениях.

Так как = , то при значениях = и = . Это значит, что при приближении диаметра к асимптоте сопряжённый диаметр приближается к той же асимптоте.

Если →0, то → . В этом случае получаем взаимно перпендикулярные сопряжённые диаметры, совпадающие с осями гиперболы.

Определим диаметры для параболы.

Пусть определяет направления хорд параболы. Учитывая, для параболы коэффициенты общего уравнения кривой второго порядка: =0, =1, =– p, =0, уравнение диаметра параболы принимает вид: , или = – прямая, параллельная оси . Это значит, что все диаметры параболы параллельны оси .

Если диаметр и хорды перпендикулярны, то диаметр совпадает с осью .

Вывод: общность кривых второго порядка при решении задачи о диаметрах проявляется в том, что все они имеют диаметры и для их нахождения используют одно и то же алгебраическое выражение.

☺☺

Пример 5 – 11: Дана параллельная ортогональная проекция окружности и её диаметра на некоторую плоскость. Как построить проекцию перпендикулярного диаметра этой окружности?

Решение:

1). При определении уравнений эллипса рассмотрен геометрический способ построения эллипса. Для нас сейчас важно то, что ортогональное параллельное проектирование превращает окружность в эллипс. Отмечалось также, что это равносильно сжатию окружности с коэффициентом сжатия: = .

2). По условию мы имеем эллипс. Это значит, что мы имеем диаметр окружности: =2 . Так как проекция окружности ортогональная, то можем отметить центр окружности: на перпендикуляре, идущем из центра эллипса, и начертить окружность.

3). Отметим на эллипсе один из его диаметров : он проходит через центр эллипса. Нетрудно отметить на окружности диаметр , который является проекцией отмеченного диаметра эллипса.

4). У окружности отметим сопряжённый диаметр : он перпендикулярен диаметру . Отобразим диаметр на эллипс. Получен диаметр , сопряжённый диаметру: . Это и есть проекция перпендикулярного диаметра окружности.

Ответ: указано в тексте и на рисунке.

Замечание: рассмотренный пример интересен тем, что для нахождения сопряжённых диаметров используются только геометрические средства.

Пример 5 – 12: Дан эллипс: . Найти уравнения двух сопряжённых диаметров этого эллипса, один из которых проходит через точку (4,2).

Решение:

1). Учтём, что все диаметры эллипса проходят через начало координат: . Для диаметра, проходящего через точку , вычисляем: = .

2). Воспользуемся выражением: = = = – для угловых коэффициентов сопряжённых диаметров эллипса. Так как = , то необходимо =–1.

3). В таком случае: если один диаметр имеет уравнение = , то другой: =– .

Ответ: один диаметр имеет уравнение = , другой: =– .

Пример 5 – 13: Составить уравнение хорды эллипса , проходящей через точку (1,-2) и делящейся ею пополам.

Решение:

1). Учтём, что все диаметры эллипса проходят через начало координат: . Для диаметра, проходящего через точку , вычисляем: =–2. Этот диаметр сопряжён искомой хорде.

2). Воспользуемся условием: = = – . Это значит, что угловой коэффициент искомой хорды = .

3). Уравнение хорды, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент , можно записать в виде: , или .

Ответ: уравнение хорды: .

Пример 5 – 14: Составить уравнение диаметра гиперболы для хорды, определяемой прямой .

Решение:

1). Так как хорда имеет направление =2, то сопряжённый ей диаметр имеет угловой коэффициент = × = .

2). Так как диаметр гиперболы проходит через начало координат, то его уравнение: = , или .

Ответ: уравнение диаметра: .

Пример 5 – 15: Составить уравнения сопряжённых диаметров гиперболы , угол между которыми равен .

Решение:

1). Воспользуемся выражением: = = .

2). Так как =1 = , то из системы уравнений: получим два решения: =– , =–3, или =3, = . Так как диаметры проходят через начало координат, пары сопряжённых диаметров: а) = , =–3 ; б) =3 , = .

Ответ: уравнения сопряжённых диаметров: а) = , =–3 ; б) =3 , = .

Пример 5 – 16: Дана парабола: . Через точку (–1,1) провести такую хорду, которая в этой точке делилась бы пополам.

Решение:

1). Так как хорда проходит через точку , то её уравнение запишем как: .

2). Из уравнения параболы: =–4. Так как точка есть середина хорды, то диаметр должен через неё проходить! Из уравнения диаметра: = получаем: , откуда =–4.

3). Уравнение искомой хорды принимает вид: .

Ответ: уравнение хорды: .

☻

Касательные к кривым второго порядка. Продолжим исследование кривых второго порядка, используя общее для этих кривых уравнение:

. (21)

Из уравнения (21), используя канонические уравнения кривых второго порядка, получаем:

Окружность: при = =1, =0, =– ; эллипс: при = , = , =0, =–1.

Гипербола: при = , =– , =0, =–1; парабола: при =0, =1, =– p, =0.

Уравнение (21) неявно может определять либо функцию , либо . Для определения касательной к кривой или кривой можно было бы воспользоваться понятием производной. Мы поступим иначе: воспользуемся определением касательной рассмотрением предельного перехода по отношению к секущей.

Обозначим концы секущей: точки и . Так как точки и принадлежат кривой, то, используя уравнение (20), можем записать:

, .

Вычитая из первого равенства второе, получим выражение:

. (21)

Рассмотрим два случая:

1). Пусть точка не является вершиной линии второго порядка, расположенной на оси , то есть . Учитывая, что угловой коэффициент секущей: = , из равенства (21) получим: = . Предельное положение секущей при неограниченном приближении точки к точке определяется выражением:

= = . (22)

2). Пусть теперь точка является вершиной линии второго порядка и располагается на оси . В этом случае =0 и . Разделим равенство (21) на разность: . В этом случае получим: . (23)

Так как для всех кривых второго порядка: , то =0. Это значит, что касательная к линии второго порядка в вершине, лежащей на оси , параллельна оси .

Общие результаты применим для каждой из кривых второго порядка.

Эллипс. Так как для эллипса в общем уравнении: A = , B = , C =0, то выражение для углового коэффициента касательной (22) принимает вид: =– .

Уравнение касательной в точке запишем, используя уравнение :

или = .

Так как точка принадлежит эллипсу, последнее равенство можно упростить, воспользовавшись тождеством: =1. Окончательно имеем уравнение касательной к эллипсу:

: =1. (24)

Так как окружность есть частный случай эллипса при значениях , то уравнение касательной для окружности имеет вид:

=1. (25)

Свойство касательных эллипса: касательные к эллипсу составляют равные углы с фокальными радиусами, проведёнными в точку касания. Докажем это геометрически изумительное свойство: лучи света, испущенные из одного фокуса эллипса, сбираются (все!) в другом фокусе (пусть линия эллипса идеально отражающая)!

Для доказательства свойства нам потребуется рассмотреть треугольники и , а именно доказать, что они подобны.

Для нахождения отрезков и нормализуем уравнение касательной: , то есть уравнение: или . Для этого (вспомним!) необходимо умножить уравнение на множитель со знаком , если , и со знаком , если . В нашем случае принимаем знак , а величина множителя: . Тогда нормированное уравнение касательной: . Учитывая: и , найдём отклонения этих точек от касательной :

= и = , причём: , <0.

Для доказательства подобия треугольников и составим отношение:

= = = = = → треугольники подобны.

Из подобия треугольников и следует равенство углов: и . Свойство доказано.

Если вращать эллипс вокруг его большой оси, то получится эллиптическая поверхность (это подробно рассматривается в Главе 6!). Если сделать эту поверхность изнутри зеркальной, то (вспомним раздел физики – оптику!) лучи, испускаемые источником, помещённым в одном из фокусов, будут собираться в другом фокусе.