Глава 5. Кривые второго порядка. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

При изучении векторов, прямых и отрезков прямых, прежде всего, использовалось двумерное пространство. Только после получения достаточного количества результатов и наработки определённого опыта их использования в этом пространстве мы перешли в трёхмерное пространство.

В случае кривых второго порядка такая последовательность использования пространств тем более оправдана. Это определяется не только сложностью объекта изучения, но и тем, что в элементарной геометрии (то есть в школе) используется только окружность, причём без исследования её аналитических свойств.

Отметим также, что все кривые (плоские кривые!) мы будем рассматривать как множество точек, обладающих некоторым общим свойством. Именно назначенное свойство точек будет определять исходное аналитическое выражение кривой.

Заметим также, что после получения аналитического выражения (уравнения) кривой применяются средства математического анализа и аналитической геометрии для исследования свойств полученной кривой. В этом смысле возможности аналитической геометрии должны проявиться ещё более выразительно и эффективно.

Чем вызван интерес к кривым второго порядка? – Прежде всего, тем, что они широко применяются в инженерной практике: кривые второго порядка технологичны. Кроме того, эти кривые часто проявляются в физике. Так материальная точка в поле тяготения Земли, в общем случае, движется по параболе. Спутник некоторой планеты, независимо от истории его происхождения, движется по эллиптической орбите. Много других примеров!..

Важно и то, что аналитические модели указанных фигур достаточно просты, и оптимизационные задачи при построении различных технических конструкций с использованием кривых второго порядка решаются достаточно просто.