Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола

Известно, что линиями первого порядка на плоскости являются прямые. Алгебраически, в общем случае, эти линии представляются в виде выражения: , где – параметры, – переменные.

Линии второго порядка, в общем случае, представляются в виде выражения:

. (1)

Мы увидим, что выражение (1) определяет (в зависимости от конкретного набора коэффициентов ) кривые второго порядка: окружность, эллипс, гиперболу, параболу или пару прямых. Прежде, чем рассматривать общую запись (1), изучим отдельно названные кривые по их простейшим алгебраическим выражениям, основанным на определенных (простейших) их свойствах.

Окружность: геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки плоскости, называемой центром окружности, Расстояние от точки окружности до её центра называется радиусом окружности. Радиусом называют также любой отрезок, соединяющий точку окружности с её центром.

Следует отметить, что уточнение определения окружности: радиусом называют также любой отрезок, соединяющий точку окружности с её центром, очень важно! Это значит, что для выделения на плоскости точек окружности не обязательно применять циркуль.

Для выделения на плоскости произвольной точки окружности достаточно провести из центра окружности луч и отложить на этом луче от точки отрезок длиной – радиус. Именно такое толкование окружности (не как линии, а как множества точек плоскости) применим для получения аналитической модели (уравнения) окружности.

Пусть точка – произвольная точка плоскости. Из определения окружности следует, что точка будет принадлежать окружности только в том случае, если отрезок есть радиус окружности, то есть: = . Запишем вектор: = Используя определение длины отрезка , можем записать: , или в виде:

→ нормальное уравнение. (2)

Если центр окружности находится в начале координат (0,0), то уравнение (2) принимает простейший вид:

→ каноническое уравнение. (3)

Пусть выражение (1) имеет частный вид (коэффициенты при квадратах переменных одинаковы!): . Из этого уравнения (используя тождественное преобразование: выделение полного квадрата) нетрудно получить выражение:

.

Так как все участвующие в записи общего вида параметры произвольные числа, то число может принимать произвольные значения. В зависимости от величины Е могут реализоваться такие случаи:

1). > 0, то есть → окружность: .

2). = 0 → , выполняется для одной точки (x₀,y₀).

3). < 0, то есть → – мнимая окружность.

☺☺

Пример 5 – 01: Доказать, что заданием трёх точек, не лежащих на одной прямой, окружность определяется однозначно, то есть однозначно определяются параметры уравнения (3).

Решение:

1). Задача равносильна задаче о нахождении окружности, описанной около треугольника.

2). Известно, что через одну точку можно провести бесчисленное множество окружностей. Для этого достаточно из точки в любом направлении провести луч, отметить на нем произвольную точку и радиусом = определить окружность:

.

3). В элементарной геометрии показано, что через две точки и можно провести бесчисленное множество окружностей. Для этого достаточно построить к отрезку срединный перпендикуляр, отметить на нём произвольную точку и радиусом = определить окружность: .

4). Если заданы три точки , и , не лежащие на одной прямой, то они определяют только одну окружность. Для этого достаточно вспомнить способ построения описанной около треугольника окружности: это пересечение срединных перпендикуляров сторон треугольника: точка пересечения единственна, вычисление радиуса не представляет труда: = , где – стороны треугольника, – площадь треугольника.

5). Используя результаты элементарной геометрии, можем утверждать, что три точки, не лежащие на одной прямой, определяют окружность однозначно.

Ответ: доказано: три точки, не лежащие на одной прямой, определяют окружность однозначно.

Пример 5 – 02: Заданы три точки: (1,0), (0,1), (1,2). Найти уравнение окружности, проходящей через три заданные точки.

Решение:

1). Так как точки , , не лежат на одной прямой (легко проверить!), то окружность существует и единственна. Из условия принадлежности точек окружности запишем:

: , : , : .

2). Вычитая из уравнения уравнение и из уравнения уравнение , получим два нелинейных уравнения для неизвестных параметров . В элементарной алгебре этот тип систем достаточно подробно изучается! В нашем случае имеем:

– → =1, – → =1.

3). Подставляя полученные значения параметров и в уравнение , получаем =1. Остаётся записать уравнение окружности: .

Замечание: рассмотренный пример прост, но схему вычислений параметров отражает достаточно полно и поможет решать задачу в самом общем случае.

Ответ: уравнение окружности: .

☻

Эллипс: геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Если произвольную точку плоскости обозначить , то множество точек эллипс состоит только из точек, наделённых особым совокупным свойст­вом трёх точек, две из которых неподвижны, а третья – переменная.

Принимая обозначения участвующих в определении величин в соответствии с рисунком, обратим внимание на условие: + =2 >2 . Для треугольника записанное неравенство есть неравенство треугольника. При условии + =2 треугольник превращается в отрезок , а множество точек эллипс есть этот же отрезок.

Отметим также особенность записи: + =2 . Коэффициент 2 принят только, исходя из удобства алгебраических преобразований и записи конечных выражений! Для дальнейшего применения введём также обозначение : далее проявится геометрический смысл этого выражения.

Используя выражение для вычисления длины отрезка, запишем длины отрезков и : = , = .

По определению эллипса получаем алгебраическое свойство множества точек, составляющих эллипс:

. (4)

Так как предполагается получить уравнения нескольких (разных!) кривых 2-го порядка, то будет полезным детально следовать по шагам преобразований аксиоматического (то есть, по определению!) выражения (4).

Прежде всего, изолируем один из корней в выражении (4) и возведём полученное равенство в квадрат (преобразование, не являющееся тождественным):

,

откуда получаем: . (5)

Последнее ещё раз возводим в квадрат и применяем тождественные преобразования к полученному равенству:

, или , (6)

При условии, что > . Применение этого условия показывает, что: . Это значит, что обозначение: непротиворечиво! Разделив равенство (5) на , получаем уравнение: – каноническое уравнение эллипса. (7)

Используя выражения (5) и (4), применяя обозначение: , запишем соотношения для вычисления расстояний и :

= , = , (8)

параметр эллипса – эксцентриситет. Учитывая: > , заметим, что .

Заметим, что переход от выражения (4) к выражению (7) осуществлён с нарушением тождественности преобразований: дважды применялось возведение в квадрат! Это требует дополнительного исследования уравнения (7): не случилось ли так, что кроме точек удовлетворяющих свойству (4), выражение (7) удовлетворяется ещё какими-то точками.

Пусть имеется точка , удовлетворяющая (7). Это значит, что верно:

→ проверим: + = + =2 .

Вычислим: = = = . Так как = , то получаем верное выражение: = . Аналогично получаем верное выражение: = . Это значит, точка , удовлетворяющая уравнению (7) принадлежит множеству точек эллипс! Доказано: условие (4) и уравнение (7) выделяют на плоскости только точки, принадлежащие эллипсу!

Принятое в определении эллипса свойство входящих в него точек позволяет нарисовать линию-эллипс, не имея уравнения для эллипса!

Придумка: Эллипс можно начертить, используя простейшие приспособления. Пусть решили начертить эллипс на полянке в лесу. Забиваем в точках F₁ и F₂ колышки, закрепляем на них концы шнура, длина которого больше отрезка F₁F₂. Натягиваем шнур (обе ветви r₁,r₂ натянуты), взявшись за его произвольную точку М, и забиваем колышек в вершине угла F₁МF₂. Если точу М смещать вдоль шнура и для каждого её нового положения (обе ветви r₁,r₂ натянуты) забивать колышек, на полянке появится чертёж правильного эллипса!

Имея определяющее эллипс уравнение (7), можно, используя средства математического анализа, приступить к исследованию свойств эллипса (для удобства наблюдения исследуемых свойств имеем подробный рисунок эллипса и его элементов!):

1). Первое, что легко выделяется из уравнения: и . Точки , , , называют вершинами эллипса. Отрезок оси – большая ось эллипса; отрезок оси – малая ось эллипса.

2). График кривой симметричен относительно осей , и начала координат: это определяется чётностью степеней при переменных в уравнении (7).

3). Рассмотрим частные случаи эллипса, определяемого уравнением (7). Если = , то уравнение (7) превращается в уравнение для окружности: . В таком случае =0 и эксцентриситет: =0.

Если =0, то = . Так как делить на 0 нельзя, то возвращаемся к промежуточному выражению: , из которого получаем только =0. В этом случае множество точек эллипс превращается в отрезок . Это не допускается по определению эллипса, как отмечалось раньше.

4). Эллипс – результат параллельного ортогонального проектирования.

Результат параллельного проектирования окружности легко наблюдается вокруг нас: стоит лишь заняться рассматриванием круга под разными углами зрения (вращая круг вокруг его диаметра). Цилиндр при рассматривании его сбоку – всего лишь прямоугольник. А если посмотреть на него сверху? Теперь видим круг. А если захочется рассматривать цилиндр так, чтобы видеть и боковую поверхность и одно из оснований? Теперь всё исказилось! – так мы называем в наших ощущениях наблюдаемую картинку. В геометрии это явление определяют как результат проектирования геометрической фигуры на некоторую плоскость.

Когда говорится о параллельном ортогональном проектировании, то имеют в виду два условия:

а) геометрическая фигура проектируется на плоскость, а не на произвольную поверхность;

б) из каждой точки геометрической фигуры на плоскость проектирования опускается перпендикуляр (известно, что все они параллельны): его основание отмечает точку-проекцию исходной фигуры.

Из рисунка нетрудно заметить связь координат точек исходной геометрической фигуры (она расположена в плоскости в системе координат ) и координат фигуры-проекции (расположена в плоскости в системе координат ):

→ . (9)

Если применить преобразование (9) к геометрической фигуре окружность, то легко заметить, что в результате такого преобразования получаем эллипс:

окружность: → , или – эллипс. (10)

Построение эллипса при помощи чертёжных приборов

5). Эллипс – результат сжатия окружности: . Наблюдение результата ортогонального параллельного проектирования подсказывает практический способ построения эллипса с заданными параметрами и , то есть с заданными осями:

Пусть требуется построить эллипс с заданными параметрами и . Для построения такого эллипса выполняет следующие действия:

а) строим окружность радиуса в прямоугольной системе координат;

б) принимаем коэффициент сжатия окружности = ;

в) применяем коэффициент сжатия к ординатам произвольных точек, не меняя их абсцисс: → реализуем процесс, показанный в преобразовании (10).

☺☺

Пример 5 – 03: Пусть требуется построить эллипс с заданными параметрами =4 и =2.

Решение:

а) строим окружность радиуса =4 с центром в начале прямоугольной системы координат ;

б) принимаем коэффициент сжатия окружности = = ;

в) далее применяем линейку и прямоугольный треугольник: двигаем треугольник вдоль линейки так, чтобы деление [4] всё время оставалось на оси ;

г) используем ординаты: 1; 2; 3; 4 точек окружности и, двигая треугольник вдоль линейки, отмечаем на плоскости точки с ординатами: ; 1; ; 2;

д) в результате выполнения построений по пункту г) для каждой четверти эллипса получаем по пять точек, которые легко соединить при помощи лекала: эллипс (симпатичный!) построен.

Замечание: значения параметров =4 и =2 и ординат: 1; 2; 3; 4 выбраны так, чтобы каждый раз легко видеть середины выделяемых отрезков.

Ответ: эллипс: – построен.

☻

5). Эллипс – результат сжатия окружности: . Наблюдение результата ортогонального параллельного проектирования подсказывает практический способ построения эллипса с заданными параметрами и , то есть с заданными осями:

6). Параметрические уравнения эллипса. Имея опыт построения параметрических уравнений прямой, напрашивается вопрос: не будет ли это связано с некоторым движением точки на плоскости в системе координат ?

Наиболее удобной моделью для получения параметрических уравнений эллипса считают отрезок , который скользит своими концами и по осям и , соответственно.

При движении отрезка точка (на отрезке закреплена), принадлежащая отрезку, описывает некоторую линию. Найдём её уравнение, введя параметр – угол отрезка с осью координат . Для этого достаточно записать значения координат точки :

(11)

Утверждать, что уравнения (11) есть эллипс, можно только после того, как убедимся, что точка принадлежит уже известному нам уравнению эллипса: .

Подставим координаты точки в каноническое уравнение эллипса:

→ – тождество!

Итак, уравнения (11) представляют эллипс, а именно его параметрические уравнения. Применяя отрезки , отражающие конкретные значения параметров и , можно получить траектории движения точки в зависимости от значения параметра . Если параметр есть время, то получаем закон движения точки по эллиптической орбите.

Неожиданный результат получается, если точку размещать на продолжении отрезка , сохраняя кинематику движения отрезка: отрезок скользит своими концами и по осям и , соответственно. Какую траекторию описывает точка в этом случае?

Найдём уравнение движения точки , используя параметр – угол отрезка с осью координат . Для этого достаточно записать значения координат точки :

(11)

Положив = = , получаем параметрические уравнения, совпадающие с уравнениями (10).

Итак, уравнения (11) представляют эллипс, а именно его параметрические уравнения. Меняя положение точки на прямой , можно получить эллипс с заданными полуосями, причём = , = .

Если точку сделать рисующей, то полученное устройство можно назвать эллиптическим циркулем.

Используя обратимость действия эллиптического циркуля, Леонардо да Винчи предложил кинематическую схему токарного станка для обтачивания валов, имеющих в поперечном сечении эллипс.

Конструкция указанного станка обеспечивает неподвижность точек , а крестовина вместе с прикреплённым к ней патроном приводится в движение. В этом случае деталь, закреплённая в патроне, обтачивается резцом, закреплённым в точке , по эллипсу.

Применяют и другие механизмы, преобразующие криволинейное движение в прямолинейное. Пусть точка движется по прямой , а точка движется по траектории, определяемой заданным эллипсом. В таком случае точка будет двигаться по прямой .

Механизмы, осуществляющие преобразование эллиптического движения в прямолинейное, называют эллиптическими коромыслами. Такие механизмы применяют в строгальных и шлифовальных станках.

Гипербола: геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами:

Принимая обозначения участвующих в определении величин в соответствии с рисунком, обратим внимание на условие: | – |<2 . Для треугольника записанное неравенство есть неравенство треугольника: каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.

Выделим некоторые частные случаи значений параметра . При условии | – |=2 множество точек гиперболы содержит только точки оси : . Если | – |=0, то треугольник становится равнобедренным и множество точек гиперболы – это числовая ось , то есть прямая.

Для удобства примем: | – |=2 , причём из определения следует: < . Коэффициент 2 принят только, исходя из удобства алгебраических преобразований и записи конечных выражений! Для дальнейшего применения введём также обозначение : далее проявится геометрический смысл этого выражения.

Используя известные выражения для расстояний и , в соответствии с определением гиперболы запишем:

. (12)

Изолируем один из корней в выражении (12) и возведём полученное равенство в квадрат:

,

откуда получаем: . (13)

Последнее ещё раз возводим в квадрат и применяем тождественные преобразования к полученному равенству:

, или , (14)

При условии, что < . Применение этого условия показывает, что: . Это значит, что обозначение: непротиворечиво! Разделив равенство (14) на , получаем уравнение: – каноническое уравнение гиперболы. (15)

Используя выражения (13) и (12), применяя обозначение: >1, запишем соотношения для вычисления расстояний и : = , = , (16)

параметр гиперболы – эксцентриситет.

Из уравнения (15) следует, что . Это значит, что на интервале нет точек гиперболы. Если , реализуется левая ветвь гиперболы. Если , реализуется правая ветвь гиперболы. Учитывая, что , >0, рассмотрим возможные случаи:

I. Для значений: получаем: – левая ветвь → ( – ) =–2 .

II. Для значений: получаем: – правая ветвь → ( – ) =2 .

Так как уравнение (15) было получено с нарушением тождественности преобразований: дважды применялось возведение в квадрат, то требуется дополнительного исследования уравнения (15). Пусть имеется точка , удовлетворяющая (15). Это значит, что верно:

→ проверим: =| – |=2 .

Вычислим : = = = . Это значит, что = , что соответствует записи для левой и правой ветвей гиперболы. Аналогично получаем верное выражение для расстояния = , что соответствует записи для левой и правой ветвей гиперболы. Это значит, точка , удовлетворяющая уравнению (15), принадлежит множеству точек гипербола! Доказано: условие (12) и уравнение (15) выделяют на плоскости только точки, принадлежащие гиперболе!

Принятое в определении гиперболы свойство входящих в него точек позволяет нарисовать линию-гиперболу, не имея уравнения для гиперболы!

Придумка: Гиперболу можно начертить, используя простейшие приспособления. Пусть решили начертить гиперболу на песчаном берегу озера. Забиваем в точках (фокусах) F₁ и F₂ колышки, закрепляем на них концы шнура, произвольной длины, причём на шнуре отмечается точка P такая, что разность длин PF₁ и PF₂ равна заданной величине 2a, меньшей, чем расстояние F₁F₂. Пусть шнур используется по схеме, изображённой на рисунке F₁® M® P® M® F₂. Пусть Вася удерживает шнур за точку P, а Петя, имея в точке М перпендикулярный к песчаной поверхности штырь, рисует на песке непрерывную линию (обе ветви F₁M, F₂M натянуты). Эта линия будет гиперболой!

Имея определяющее гиперболу уравнение (15), можно, используя средства математического анализа, приступить к исследованию свойств гиперболы (для удобства наблюдения исследуемых свойств имеем подробный рисунок гиперболы и её элементов!):

1). Первое, что легко выделяется из уравнения гиперболы: область определения и область значений: . Точки , называют вершинами гиперболы. Ось – действительная ось гиперболы, ось – мнимая ось гиперболы.

2). График кривой симметричен относительно осей , и начала координат: это определяется чётностью степеней при переменных в уравнении (15).

3). Если задано уравнение гиперболы, то определены параметры: и . Используя циркуль, легко отмечают на оси точки фокусов гиперболы.

4). Гипербола имеет асимптоты: = = . В математическом анализе показано, что для нахождения асимптот необходимо вычислить пределы:

;

.

Построение графика гиперболы не представляет особого труда: учитывая симметрию графика относительно осей координат, достаточно построить только четверть кривой в первой четверти плоскости . На рисунке легко прочитываются все затронутые свойства гиперболы:

Парабола: геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до данной прямой, называемой директрисой.

В соответствии с определением параболы, отметим на плоскости точку – фокус и прямую – директрису:

Используя принятые на рисунке обозначения, запишем в соответствии принятым определением параболы: → → . (17)

Получено простейшее уравнение параболы:

→ каноническое уравнение параболы. (18)

Определяющее свойство параболы равносильно свойству: – эксцентриситет параболы.

Принятое в определении параболы свойство входящих в него точек позволяет нарисовать линию-параболу, не имея уравнения для параболы!

Придумка: Параболу можно начертить, используя простейшие приспособления. Пусть решили начертить параболу на листе ватмана. Для удобства закрепим по линии директрисы DD длинную линейку. Воспользуемся достаточно большим прямоугольным треугольником, у которого длинный катет будет всё время параллелен оси OX, а меньший при этом скользит вдоль линейки DD. Прикрепим нить одним концом к вершине острого угла треугольника, а другим – к точке F. Если точу М снабдить пишущим инструментом и всё время обеспечивать натяжение нити и движение точки M вдоль длинного катета (см. рисунок), то на листе ватмана будет вычерчиваться кривая линия – парабола!

Так как уравнение (18) было получено с нарушением тождественности преобразований: применялось возведение в квадрат, то требуется дополнительного исследования уравнения (18). Пусть имеется точка , удовлетворяющая (18). Это значит, что верно:

→ проверим: = = .

Вычислим: = = = . Это значит, точка , удовлетворяющая уравнению (18), принадлежит множеству точек парабола! Доказано: условие и уравнение (18) выделяют на плоскости только точки, принадлежащие параболе!

Используя уравнение параболы (18), отметим основные свойства графика параболы:

1). Так как переменная входит в уравнение во второй степени, то график симметричен относительно оси – ось параболы. Точку называют вершиной параболы.

2). Из уравнения параболы следует также, что в случае, когда , график параболы располагается справа от оси , то есть в той же полуплоскости, что и фокус . При значении слева от оси .

3). Если поменять ролями переменные и , то есть воспользоваться записью: , то получим известную их школьной алгебры параболу: . Отметим преимущества записи уравнения параболы в виде : явно показано положение фокуса параболы .

☺☺

Пример 5 – 04: Найти координаты центра и радиус окружности: .

Решение:

1). Применим выделение полного квадрата по каждой переменной: .

2). Это значит: координаты центра окружности: (4,–3), радиус =3.

Ответ: координаты центра окружности: (4,–3), радиус =3.

Пример 5 – 05: Составить уравнение эллипса, большая ось которого совпадает с осью и равна 10, а расстояние между фокусами равно 8.

Решение:

1). Пусть уравнение эллипса имеет вид: . Так как 2 =8, 2 =10, то =4, =5.

2). Так как есть большая полуось, то = 9. Уравнение эллипса: .

Ответ: .

Пример 5 – 06: Имеем эллипс: . Определить, какие из точек: (4,–3), (2,2), = лежат внутри эллипса, вне эллипса и на эллипсе.

Решение: