![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Известно, что линиями первого порядка на плоскости являются прямые. Алгебраически, в общем случае, эти линии представляются в виде выражения: , где
– параметры,
– переменные.
Линии второго порядка, в общем случае, представляются в виде выражения:
. (1)
Мы увидим, что выражение (1) определяет (в зависимости от конкретного набора коэффициентов
) кривые второго порядка: окружность, эллипс, гиперболу, параболу или пару прямых. Прежде, чем рассматривать общую запись (1), изучим отдельно названные кривые по их простейшим алгебраическим выражениям, основанным на определенных (простейших) их свойствах.
Окружность: геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки плоскости, называемой центром окружности, Расстояние от точки окружности до её центра называется радиусом окружности. Радиусом называют также любой отрезок, соединяющий точку окружности с её центром.
Следует отметить, что уточнение определения окружности: радиусом называют также любой отрезок, соединяющий точку окружности с её центром, очень важно! Это значит, что для выделения на плоскости точек окружности не обязательно применять циркуль.
Для выделения на плоскости произвольной точки окружности достаточно провести из центра окружности
луч и отложить на этом луче от точки
отрезок длиной
– радиус. Именно такое толкование окружности (не как линии, а как множества точек плоскости) применим для получения аналитической модели (уравнения) окружности.
Пусть точка
– произвольная точка плоскости. Из определения окружности следует, что точка
будет принадлежать окружности только в том случае, если отрезок
есть радиус окружности, то есть:
=
. Запишем вектор:
=
Используя определение длины отрезка
, можем записать:
, или в виде:
→ нормальное уравнение. (2)
Если центр окружности находится в начале координат (0,0), то уравнение (2) принимает простейший вид:
→ каноническое уравнение. (3)
Пусть выражение (1) имеет частный вид (коэффициенты при квадратах переменных одинаковы!): . Из этого уравнения (используя тождественное преобразование: выделение полного квадрата) нетрудно получить выражение:
.
Так как все участвующие в записи общего вида параметры произвольные числа, то число может принимать произвольные значения. В зависимости от величины Е могут реализоваться такие случаи:
1). > 0, то есть
→ окружность:
.
2). = 0 →
, выполняется для одной точки (x0,y0).
3). < 0, то есть →
– мнимая окружность.
☺☺
Пример 5 – 01: Доказать, что заданием трёх точек, не лежащих на одной прямой, окружность определяется однозначно, то есть однозначно определяются параметры уравнения (3).
Решение:
1). Задача равносильна задаче о нахождении окружности, описанной около треугольника.
2). Известно, что через одну точку
можно провести бесчисленное множество окружностей. Для этого достаточно из точки в любом направлении провести луч, отметить на нем произвольную точку
и радиусом
=
определить окружность:
.
3). В элементарной геометрии показано, что через две точки
и
можно провести бесчисленное множество окружностей. Для этого достаточно построить к отрезку
срединный перпендикуляр, отметить на нём произвольную точку
и радиусом
=
определить окружность:
.
4). Если заданы три точки
,
и
, не лежащие на одной прямой, то они определяют только одну окружность. Для этого достаточно вспомнить способ построения описанной около треугольника окружности: это пересечение срединных перпендикуляров сторон треугольника: точка пересечения единственна, вычисление радиуса не представляет труда:
=
, где
– стороны треугольника,
– площадь треугольника.
5). Используя результаты элементарной геометрии, можем утверждать, что три точки, не лежащие на одной прямой, определяют окружность однозначно.
Ответ: доказано: три точки, не лежащие на одной прямой, определяют окружность однозначно.
Пример 5 – 02: Заданы три точки: (1,0),
(0,1),
(1,2). Найти уравнение окружности, проходящей через три заданные точки.
Решение:
1). Так как точки ,
,
не лежат на одной прямой (легко проверить!), то окружность существует и единственна. Из условия принадлежности точек окружности запишем:
:
,
:
,
:
.
2). Вычитая из уравнения уравнение
и из уравнения
уравнение
, получим два нелинейных уравнения для неизвестных параметров
. В элементарной алгебре этот тип систем достаточно подробно изучается! В нашем случае имеем:
–
→
=1,
–
→
=1.
3). Подставляя полученные значения параметров и
в уравнение
, получаем
=1. Остаётся записать уравнение окружности:
.
Замечание: рассмотренный пример прост, но схему вычислений параметров отражает достаточно полно и поможет решать задачу в самом общем случае.
Ответ: уравнение окружности: .
☻
Эллипс: геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
Если произвольную точку плоскости обозначить
, то множество точек эллипс состоит только из точек, наделённых особым совокупным свойством трёх точек, две из которых неподвижны, а третья – переменная.
Принимая обозначения участвующих в определении величин в соответствии с рисунком, обратим внимание на условие: +
=2
>2
. Для треугольника
записанное неравенство есть неравенство треугольника. При условии
+
=2
треугольник превращается в отрезок
, а множество точек эллипс есть этот же отрезок.
Отметим также особенность записи: +
=2
. Коэффициент 2 принят только, исходя из удобства алгебраических преобразований и записи конечных выражений! Для дальнейшего применения введём также обозначение
: далее проявится геометрический смысл этого выражения.
Используя выражение для вычисления длины отрезка, запишем длины отрезков и
:
=
,
=
.
По определению эллипса получаем алгебраическое свойство множества точек, составляющих эллипс:
. (4)
Так как предполагается получить уравнения нескольких (разных!) кривых 2-го порядка, то будет полезным детально следовать по шагам преобразований аксиоматического (то есть, по определению!) выражения (4).
Прежде всего, изолируем один из корней в выражении (4) и возведём полученное равенство в квадрат (преобразование, не являющееся тождественным):
,
откуда получаем: . (5)
Последнее ещё раз возводим в квадрат и применяем тождественные преобразования к полученному равенству:
, или
, (6)
При условии, что >
. Применение этого условия показывает, что:
. Это значит, что обозначение:
непротиворечиво! Разделив равенство (5) на
, получаем уравнение:
– каноническое уравнение эллипса. (7)
Используя выражения (5) и (4), применяя обозначение: , запишем соотношения для вычисления расстояний
и
:
=
,
=
, (8)
параметр эллипса – эксцентриситет. Учитывая:
>
, заметим, что
.
Заметим, что переход от выражения (4) к выражению (7) осуществлён с нарушением тождественности преобразований: дважды применялось возведение в квадрат! Это требует дополнительного исследования уравнения (7): не случилось ли так, что кроме точек удовлетворяющих свойству (4), выражение (7) удовлетворяется ещё какими-то точками.
Пусть имеется точка
, удовлетворяющая (7). Это значит, что верно:
→ проверим:
+
=
+
=2
.
Вычислим: =
=
=
. Так как
=
, то получаем верное выражение:
=
. Аналогично получаем верное выражение:
=
. Это значит, точка
, удовлетворяющая уравнению (7) принадлежит множеству точек эллипс! Доказано: условие (4) и уравнение (7) выделяют на плоскости только точки, принадлежащие эллипсу!
Принятое в определении эллипса свойство входящих в него точек позволяет нарисовать линию-эллипс, не имея уравнения для эллипса!
Придумка: Эллипс можно начертить, используя простейшие приспособления. Пусть решили начертить эллипс на полянке в лесу. Забиваем в точках F1 и F2 колышки, закрепляем на них концы шнура, длина которого больше отрезка F1F2. Натягиваем шнур (обе ветви r1,r2 натянуты), взявшись за его произвольную точку М, и забиваем колышек в вершине угла F1МF2. Если точу М смещать вдоль шнура и для каждого её нового положения (обе ветви r1,r2 натянуты) забивать колышек, на полянке появится чертёж правильного эллипса!
Имея определяющее эллипс уравнение (7), можно, используя средства математического анализа, приступить к исследованию свойств эллипса (для удобства наблюдения исследуемых свойств имеем подробный рисунок эллипса и его элементов!):
1). Первое, что легко выделяется из уравнения: и
. Точки
,
,
,
называют вершинами эллипса. Отрезок
оси
– большая ось эллипса; отрезок
оси
– малая ось эллипса.
2). График кривой симметричен относительно осей ,
и начала координат: это определяется чётностью степеней при переменных
в уравнении (7).
3). Рассмотрим частные случаи эллипса, определяемого уравнением (7). Если =
, то уравнение (7) превращается в уравнение для окружности:
. В таком случае
=0 и эксцентриситет:
=0.
Если =0, то
=
. Так как делить на 0 нельзя, то возвращаемся к промежуточному выражению:
, из которого получаем только
=0. В этом случае множество точек эллипс превращается в отрезок
. Это не допускается по определению эллипса, как отмечалось раньше.
4). Эллипс – результат параллельного ортогонального проектирования.
Результат параллельного проектирования окружности легко наблюдается вокруг нас: стоит лишь заняться рассматриванием круга под разными углами зрения (вращая круг вокруг его диаметра). Цилиндр при рассматривании его сбоку – всего лишь прямоугольник. А если посмотреть на него сверху? Теперь видим круг. А если захочется рассматривать цилиндр так, чтобы видеть и боковую поверхность и одно из оснований? Теперь всё исказилось! – так мы называем в наших ощущениях наблюдаемую картинку. В геометрии это явление определяют как результат проектирования геометрической фигуры на некоторую плоскость.
Когда говорится о параллельном ортогональном проектировании, то имеют в виду два условия:
а) геометрическая фигура проектируется на плоскость, а не на произвольную поверхность;
б) из каждой точки геометрической фигуры на плоскость проектирования опускается перпендикуляр (известно, что все они параллельны): его основание отмечает точку-проекцию исходной фигуры.
Из рисунка нетрудно заметить связь координат точек исходной геометрической фигуры (она расположена в плоскости в системе координат
) и координат фигуры-проекции (расположена в плоскости
в системе координат
):
→
. (9)
Если применить преобразование (9) к геометрической фигуре окружность, то легко заметить, что в результате такого преобразования получаем эллипс:
окружность: →
, или
– эллипс. (10)
Построение эллипса при помощи чертёжных приборов
5). Эллипс – результат сжатия окружности: . Наблюдение результата ортогонального параллельного проектирования подсказывает практический способ построения эллипса с заданными параметрами
и
, то есть с заданными осями:
Пусть требуется построить эллипс с заданными параметрами и
. Для построения такого эллипса выполняет следующие действия:
а) строим окружность радиуса
в прямоугольной системе координат;
б) принимаем коэффициент сжатия окружности =
;
в) применяем коэффициент сжатия к ординатам произвольных точек, не меняя их абсцисс:
→ реализуем процесс, показанный в преобразовании (10).
☺☺
Пример 5 – 03: Пусть требуется построить эллипс с заданными параметрами =4 и
=2.
Решение:
а) строим окружность радиуса =4 с центром в начале прямоугольной системы координат
;
б) принимаем коэффициент сжатия окружности =
=
;
в) далее применяем линейку и прямоугольный треугольник: двигаем треугольник вдоль линейки так, чтобы деление [4] всё время оставалось на оси ;
г) используем ординаты: 1; 2; 3; 4 точек окружности и, двигая треугольник вдоль линейки, отмечаем на плоскости точки с ординатами:
;
1;
;
2;
д) в результате выполнения построений по пункту г) для каждой четверти эллипса получаем по пять точек, которые легко соединить при помощи лекала: эллипс (симпатичный!) построен.
Замечание: значения параметров =4 и
=2 и ординат: 1; 2; 3; 4 выбраны так, чтобы каждый раз легко видеть середины выделяемых отрезков.
Ответ: эллипс: – построен.
☻
5). Эллипс – результат сжатия окружности: . Наблюдение результата ортогонального параллельного проектирования подсказывает практический способ построения эллипса с заданными параметрами
и
, то есть с заданными осями:
6). Параметрические уравнения эллипса. Имея опыт построения параметрических уравнений прямой, напрашивается вопрос: не будет ли это связано с некоторым движением точки на плоскости в системе координат ?
Наиболее удобной моделью для получения параметрических уравнений эллипса считают отрезок
, который скользит своими концами
и
по осям
и
, соответственно.
При движении отрезка точка
(на отрезке закреплена), принадлежащая отрезку, описывает некоторую линию. Найдём её уравнение, введя параметр
– угол отрезка
с осью координат
. Для этого достаточно записать значения координат точки
:
(11)
Утверждать, что уравнения (11) есть эллипс, можно только после того, как убедимся, что точка принадлежит уже известному нам уравнению эллипса: .
Подставим координаты точки в каноническое уравнение эллипса:
→
– тождество!
Итак, уравнения (11) представляют эллипс, а именно его параметрические уравнения. Применяя отрезки , отражающие конкретные значения параметров
и
, можно получить траектории движения точки
в зависимости от значения параметра
. Если параметр
есть время, то получаем закон движения точки по эллиптической орбите.
Неожиданный результат получается, если точку размещать на продолжении отрезка
, сохраняя кинематику движения отрезка: отрезок
скользит своими концами
и
по осям
и
, соответственно. Какую траекторию описывает точка
в этом случае?
Найдём уравнение движения точки , используя параметр
– угол отрезка
с осью координат
. Для этого достаточно записать значения координат точки
:
(11)
Положив =
=
, получаем параметрические уравнения, совпадающие с уравнениями (10).
Итак, уравнения (11) представляют эллипс, а именно его параметрические уравнения. Меняя положение точки на прямой
, можно получить эллипс с заданными полуосями, причём
=
,
=
.
Если точку сделать рисующей, то полученное устройство можно назвать эллиптическим циркулем.
Используя обратимость действия эллиптического циркуля, Леонардо да Винчи предложил кинематическую схему токарного станка для обтачивания валов, имеющих в поперечном сечении эллипс.
Конструкция указанного станка обеспечивает неподвижность точек , а крестовина вместе с прикреплённым к ней патроном
приводится в движение. В этом случае деталь, закреплённая в патроне, обтачивается резцом, закреплённым в точке
, по эллипсу.
Применяют и другие механизмы, преобразующие криволинейное движение в прямолинейное. Пусть точка движется по прямой
, а точка
движется по траектории, определяемой заданным эллипсом. В таком случае точка
будет двигаться по прямой
.
Механизмы, осуществляющие преобразование эллиптического движения в прямолинейное, называют эллиптическими коромыслами. Такие механизмы применяют в строгальных и шлифовальных станках.
Гипербола: геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами:
Принимая обозначения участвующих в определении величин в соответствии с рисунком, обратим внимание на условие: | –
|<2
. Для треугольника
записанное неравенство есть неравенство треугольника: каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.
Выделим некоторые частные случаи значений параметра . При условии |
–
|=2
множество точек гиперболы содержит только точки оси
:
. Если |
–
|=0, то треугольник
становится равнобедренным и множество точек гиперболы – это числовая ось
, то есть прямая.
Для удобства примем: | –
|=2
, причём из определения следует:
<
. Коэффициент 2 принят только, исходя из удобства алгебраических преобразований и записи конечных выражений! Для дальнейшего применения введём также обозначение
: далее проявится геометрический смысл этого выражения.
Используя известные выражения для расстояний и
, в соответствии с определением гиперболы запишем:
. (12)
Изолируем один из корней в выражении (12) и возведём полученное равенство в квадрат:
,
откуда получаем: . (13)
Последнее ещё раз возводим в квадрат и применяем тождественные преобразования к полученному равенству:
, или
, (14)
При условии, что <
. Применение этого условия показывает, что:
. Это значит, что обозначение:
непротиворечиво! Разделив равенство (14) на
, получаем уравнение:
– каноническое уравнение гиперболы. (15)
Используя выражения (13) и (12), применяя обозначение: >1, запишем соотношения для вычисления расстояний
и
:
=
,
=
, (16)
параметр гиперболы – эксцентриситет.
Из уравнения (15) следует, что . Это значит, что на интервале
нет точек гиперболы. Если
, реализуется левая ветвь гиперболы. Если
, реализуется правая ветвь гиперболы. Учитывая, что
,
>0, рассмотрим возможные случаи:
I. Для значений: получаем:
– левая ветвь → (
–
) =–2
.
II. Для значений: получаем:
– правая ветвь → (
–
) =2
.
Так как уравнение (15) было получено с нарушением тождественности преобразований: дважды применялось возведение в квадрат, то требуется дополнительного исследования уравнения (15). Пусть имеется точка
, удовлетворяющая (15). Это значит, что верно:
→ проверим:
=|
–
|=2
.
Вычислим :
=
=
=
. Это значит, что
=
, что соответствует записи
для левой и правой ветвей гиперболы. Аналогично получаем верное выражение для расстояния
=
, что соответствует записи
для левой и правой ветвей гиперболы. Это значит, точка
, удовлетворяющая уравнению (15), принадлежит множеству точек гипербола! Доказано: условие (12) и уравнение (15) выделяют на плоскости только точки, принадлежащие гиперболе!
Принятое в определении гиперболы свойство входящих в него точек позволяет нарисовать линию-гиперболу, не имея уравнения для гиперболы!
Придумка: Гиперболу можно начертить, используя простейшие приспособления. Пусть решили начертить гиперболу на песчаном берегу озера. Забиваем в точках (фокусах) F1 и F2 колышки, закрепляем на них концы шнура, произвольной длины, причём на шнуре отмечается точка P такая, что разность длин PF1 и PF2 равна заданной величине 2a, меньшей, чем расстояние F1F2. Пусть шнур используется по схеме, изображённой на рисунке F1® M® P® M® F2. Пусть Вася удерживает шнур за точку P, а Петя, имея в точке М перпендикулярный к песчаной поверхности штырь, рисует на песке непрерывную линию (обе ветви F1M, F2M натянуты). Эта линия будет гиперболой!
Имея определяющее гиперболу уравнение (15), можно, используя средства математического анализа, приступить к исследованию свойств гиперболы (для удобства наблюдения исследуемых свойств имеем подробный рисунок гиперболы и её элементов!):
1). Первое, что легко выделяется из уравнения гиперболы: область определения и область значений:
. Точки
,
называют вершинами гиперболы. Ось
– действительная ось гиперболы, ось
– мнимая ось гиперболы.
2). График кривой симметричен относительно осей ,
и начала координат: это определяется чётностью степеней при переменных
в уравнении (15).
3). Если задано уравнение гиперболы, то определены параметры: и
. Используя циркуль, легко отмечают на оси
точки фокусов гиперболы.
4). Гипербола имеет асимптоты: =
=
. В математическом анализе показано, что для нахождения асимптот необходимо вычислить пределы:
;
.
Построение графика гиперболы не представляет особого труда: учитывая симметрию графика относительно осей координат, достаточно построить только четверть кривой в первой четверти плоскости . На рисунке легко прочитываются все затронутые свойства гиперболы:
Парабола: геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до данной прямой, называемой директрисой.
В соответствии с определением параболы, отметим на плоскости точку
– фокус и прямую
– директрису:
Используя принятые на рисунке обозначения, запишем в соответствии принятым определением параболы: →
→
. (17)
Получено простейшее уравнение параболы:
→ каноническое уравнение параболы. (18)
Определяющее свойство параболы равносильно свойству:
– эксцентриситет параболы.
Принятое в определении параболы свойство входящих в него точек позволяет нарисовать линию-параболу, не имея уравнения для параболы!
Придумка: Параболу можно начертить, используя простейшие приспособления. Пусть решили начертить параболу на листе ватмана. Для удобства закрепим по линии директрисы DD длинную линейку. Воспользуемся достаточно большим прямоугольным треугольником, у которого длинный катет будет всё время параллелен оси OX, а меньший при этом скользит вдоль линейки DD. Прикрепим нить одним концом к вершине острого угла треугольника, а другим – к точке F. Если точу М снабдить пишущим инструментом и всё время обеспечивать натяжение нити и движение точки M вдоль длинного катета (см. рисунок), то на листе ватмана будет вычерчиваться кривая линия – парабола!
Так как уравнение (18) было получено с нарушением тождественности преобразований: применялось возведение в квадрат, то требуется дополнительного исследования уравнения (18). Пусть имеется точка
, удовлетворяющая (18). Это значит, что верно:
→ проверим:
=
=
.
Вычислим: =
=
=
. Это значит, точка
, удовлетворяющая уравнению (18), принадлежит множеству точек парабола! Доказано: условие
и уравнение (18) выделяют на плоскости только точки, принадлежащие параболе!
Используя уравнение параболы (18), отметим основные свойства графика параболы:
1). Так как переменная входит в уравнение во второй степени, то график симметричен относительно оси
– ось параболы. Точку
называют вершиной параболы.
2). Из уравнения параболы следует также, что в случае, когда , график параболы располагается справа от оси
, то есть в той же полуплоскости, что и фокус
. При значении
слева от оси
.
3). Если поменять ролями переменные и
, то есть воспользоваться записью:
, то получим известную их школьной алгебры параболу:
. Отметим преимущества записи уравнения параболы в виде
: явно показано положение фокуса параболы
.
☺☺
Пример 5 – 04: Найти координаты центра и радиус окружности: .
Решение:
1). Применим выделение полного квадрата по каждой переменной: .
2). Это значит: координаты центра окружности: (4,–3), радиус
=3.
Ответ: координаты центра окружности: (4,–3), радиус
=3.
Пример 5 – 05: Составить уравнение эллипса, большая ось которого совпадает с осью и равна 10, а расстояние между фокусами равно 8.
Решение:
1). Пусть уравнение эллипса имеет вид: . Так как 2
=8, 2
=10, то
=4,
=5.
2). Так как есть большая полуось, то
= 9. Уравнение эллипса:
.
Ответ: .
Пример 5 – 06: Имеем эллипс: . Определить, какие из точек:
(4,–3),
(2,2),
=
лежат внутри эллипса, вне эллипса и на эллипсе.
Решение:
1). Из уравнения эллипса имеем: =5,
=3. Вычисляем:
=4. Воспользуемся формулами для вычисления расстояний точки до фокусов эллипса:
=
,
=
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 956 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!