Переходная и импульсная характеристики цепи

Переходной характеристикой цепи является сигнал на ее выходе при подаче на вход единичной ступеньки вида функции Хевисайда:

Это вид сигнала выбран в качестве простейшего для описания более сложного сигнала.

Действительно, представим сложный сигнал при t >0 в виде набора ступенчатых функций (рис.1) через одинаковые промежутки времени D t:

Рис. 1

Таким образом, аналоговый сигнал s (t) можно представить ступенчатой функцией s₁ (t) вида:

,

где s_k, s_{k+ 1} - значения функциии в моменты времени k D t и (k +1)D t. Ясно, что наилучшее приближение к s (t) будет иметь место при D t ® 0. В пределе получим сигнал в виде интегральной суммы

Таким образом, зная реакцию цепи на воздействие в виде s (t), можно определить и реакцию цепи на более сложное воздействие. Обозначим переходную характеристику цепи через g (t).

Для определения переходной характеристики цепи следует решить дифференциальное уравнение, в правой части которого должна стоять функция s (t) и ее производные. Ниже мы покажем, как проще определить эту передаточную характеристику цепи.

Импульсной характеристикой h (t) цепи называют сигнал на выходе при подаче на вход сигнала вида d -импульса:

Этот тип сигнала также используется как простой тестовый, т.к. с его помощью также можно описать любой сложный сигнал.

Рис. 2

Представим аналоговый сигнал s (t) в виде суммы импульсов через промежутки D t, амплитуды которых равны значениям сигналов в моменты t = k D t.

Сравнивая площади под исходным сигналом s (t) и его ступенчатым аналогом, устремляя D t к нулю, получаем окончательную интегральную форму

,

Здесь величина s (t) dt (площадь элементарного прямоугольного импульса) имеет смысл постоянного коэффициента при дельта-функции d (t - t).

Зная отклик цепи на d -функцию можно определить реакцию цепи на любое сложное воздействие.

Поскольку первая производная функции s (t) и есть дельта-функция, т.е. , то и импульсная характеристика также будет производной от переходной, т.е. , и, наоборот,

Переходную и импульсную характеристики цепи используют во временном методе анализа.

Метод компле́ксных амплитуд — метод расчета линейных электрических цепей, содержащих реактивные элементы, в установившемся режиме при гармонических входных сигналах, впервые применённый О. Хевисайдом.

Суть метода заключается в следующем:

· Для всех реактивных элементов определяется их комплексный импеданс.

· Все токи и напряжения рассматриваются в виде комплексных амплитуд.

После введения этих замен задача анализа цепи сводится к задаче анализа цепи на постоянном токе:

· импедансы трактуются как обычные сопротивления

· комплексные амплитуды токов и напряжений как обычные токи и напряжения

Таким образом, мы избавились от реактивности элементов и зависимости от времени сигналов. Эти факторы, затрудняющие математическое описание схемы, теперь перенесены в сигнал: все параметры зависят от частоты гармонического сигнала и являются комплекснозначными.

Задача анализа цепи на постоянном токе решается соответствующими методами, например, методом узловых потенциалов или методом контурных токов. После нахождения всех искомых комплексных амплитуд их можно при необходимости перевести обратно в гармонические сигналы.

Если в формуле Эйлера (1.53): под понимать фазу гармонических колебаний

(2.23)

то каждому такому колебанию можно поставить в соответствие комплексное число

(2.24)

Из (2.24) видно, что решение (2.7) является мнимой частью комплексного выражения:

(2.25)

где - комплексная амплитуда, которая несет информацию об амплитуде и начальной фазе колебаний. Надо отметить, что метод комплексных амплитуд является, фактически, аналитическим выражением метода векторных диаграмм. Если в последнем методе колебание с частотой полностью задается вектором то в методе комплексных амплитуд колебание задается числом на комплексной плоскости. Поскольку с комплексными числами удобно и просто производить математические операции, то мы используем это обстоятельство для получения решения уравнения вынужденных колебаний (2.10).

19. Закон Ома и комплексное сопротивление пассивного двухполюсника

Закон Ома в комплексной форме

Запишем закон Ома в комплексной форме

(2.34.1)

где U – комплексное напряжение, В;

Z – комплексное сопротивление, Ом.

Комплексным падением напряжения U называют величину

. (2.34.2)

В комплексной форме справедливы все законы известные для линейных цепей постоянного тока. Можно применять методы уравнений Кирхгофа, метод контурных токов, узловых потенциалов и другие.

Комплексное сопротивление

Комплексным сопротивлением или импедансом (рис. 2.32.1) называется величина

Рис. 2.32.1

(2.32.1)

где U –комплексное напряжение, В;

I – комплексный ток, A;

Z – комплексное сопротивление, Ом;

– полное сопротивление (модуль), Ом;

φ – фаза комплексного сопротивления, рад или градус;

R – резистивное сопротивление, Ом;

X – реактивное сопротивление Ом;

– мнимая единица

Двухполюсник – это электрическая цепь, имеющая два выхода. Двухполюсники, содержащие источники электрической энергии, называют активными, а без таких источников – пассивными. Каждый пассивный двухполюсник характеризуется одним параметром, устанавливающим связь между потребляемым от источника током и падением напряжения на нем. В общем случае такая связь может иметь сложную интегрально-дифференциальную форму. Однако при синусоидальной форме тока (или напряжения) линейный двухполюсник обеспечивает такую же синусоидальную форму с той же частотой и для напряжения на нем (соответственно, тока). Таким образом, любой линейный пассивный двухполюсник при синусоидальных токах может быть заменен комплексным сопротивлением, устанавливающим связь между комплексными амплитудами напряжения и тока:

, где ; .

Пассивный двухполюсник является потребителем энергии и может быть заменен эквивалентным сопротивление

м, величина которого равна входному сопротивлению двухполюсника (см., например, рис. 1.15).