Импульсные характеристики электрических цепей

Импульсной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воз­действие единичной импульсной функции (d-функции) (7.21). Обо­значается импульсная характеристика h (t). Причем, g (t) и h (t) определяются при нулевых начальных условиях в цепи*. В зави­симости от типа реакции и типа воздействия (ток или напряжение) переходные и импульсные характеристики могут быть безразмер­ными величинами, либо имеют размерность А/В или В/А.

Использование понятий переходной и импульсной характери­стик цепи позволяет свести расчет реакции цепи от действия непе­риодического сигнала произвольной формы к определению реакции цепи на простейшее воздействие типа единичной 1(t) или импульс­ной функции d(t), с помощью которых аппроксимируется исходный сигнал. При этом результирующая реакция линейной цепи нахо­дится (с использованием принципа наложения) как сумма реакций цепи на элементарные воздействия 1(t) или d(t).

Между переходной g (t) и импульсной h (t) характеристиками линейной пассивной цепи существует определенная связь. Ее можно установить, если представить единичную импульсную функцию через предельный переход разности двух единичных функций вели­чины 1/t, сдвинутых друг относительно друга на время t:

т. е. единичная импульсная функция рав­на производной единичной функции. Так как рассматриваемая цепь предполагается линейной, то соотношение (8.1) сохраня­ется и для импульсных и переходных реак­ций цепи

т. е. импульсная характеристика является производной от переход­ной характеристики цепи.

Уравнение (8.2) справедливо для случая, когда g (0) = 0 (нуле­вые начальны е условия для цепи). Еслиже g (0) ¹ 0, то предста­вив g (t) в виде g (t) = , где = 0, получим уравнение связи для этого случая:

Для нахождения переходных и им­пуль­сных характеристик цепи можно использо­вать как классический, так и операторный методы. Сущность классического метода сос­то­ит в определении временной реакции цепи (в форме напряжения или тока в отдельных ветвях цепи) на воздействие единичной 1(t) или импульсной d(t) функ­ции. Обычно классическим методом удобно определять переходную характеристику g (t), а импульсную характеристику h (t) находить с помощью уравнений связи (8.2), (8.3) или операторным мето­дом.

ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ

d-функция, d-функция Дирака, d(х), - функция, позволяющая записать пространственную плотность физич. величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в точке апространства R_n. Напр., плотность точечной массы т, находящейся в точке а, записывается с помощью Д.-ф. в виде md(х-а). Д.-ф. может быть определена формальным соотношением

для любой непрерывной функции f(x). Аналогично можно определить производные d^(k) (х). для Д.-ф.:

для класса функций f(x), непрерывных в R_n со своими производными f^(k)>(x)до порядка квключительно. Часто используемые формальные операторные соотношения, выражающие свойства Д.-ф.:

и т. п., следует понимать в смысле данных выше определений, т. е. эти соотношения приобретают смысл лишь после интегрирования их с достаточно гладкими функциями. Таким образом, Д.-ф. не является обычной функцией в смысле классич. теории функций и определяется в теории обобщенных функций как сингулярная обобщенная функция, т. е. как непрерывный линейный функционал в пространстве бесконечно дифференцируемых финитных функций f(x), который сопоставляет f(x)ее значение в нуле: (d, f)= f(0).

Доказать законы коммутации можно от противного: если допустить обратное, то получаются бесконечно большие значения и , что приводит к нарушению законов Кирхгофа.

На практике, за исключением особых случаев (некорректные коммутации), допустимо использование указанных законов в другой формулировке, а именно:

первый закон коммутации – в ветви с катушкой индуктивности ток в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

второй закон коммутации – напряжение на конденсаторе в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

Более общей формулировкой законов коммутации является положение о невозможности скачкообразного изменения в момент коммутации для схем с катушкой индуктивности – потокосцеплений, а для схем с конденсаторами – зарядов на них.

Переходные процессы (на схемах рис.2) в которых относятся к так называемым некорректным коммутациям (название произошло от пренебрежения в подобных схемах малыми параметрами, корректный учет которых может привести к существенному усложнению задачи).

При переводе в схеме (2,а) ключа из положения 1 в положение 2 трактование второго закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе приводит к невыполнению второго закона Кирхгофа . Аналогично при размыкании ключа в схеме (2,б) трактование первого закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения тока через катушку индуктивности приводит к невыполнению первого закона Кирхгофа . Для данных схем, исходя из сохранения заряда и соответственно потокосцепления, можно записать: