Принцип дуальности

В законах электрических цепей и описывающих цепи выражениях можно обнаружить сходство соотношений, записанных для токов и напряжений, называемое дуальностью: при взаимной замене токов и напряжений обнаруживается своеобразная симметрия. Дуальными являются пары физических величин, топологических понятий и законов цепей, соответствующие друг другу в дуальных соотношениях. Так, индуктивность характеризуется компонентным уравнением u = L di / dt, связывающим напряжение u и производную тока di / dt. Дуальным будет уравнение, выражающее ток элемента i через производную напряжения du / dt. Это — связь i = C du / dt для емкости. Отсюда следует, что L и C являются дуальными элементами. Также дуальны друг другу источник ЭДС и источник тока. Дуальны и топологические понятия контура и сечения, первый и второй законы Кирхгофа, формулируемые для дуальных друг другу топологических структур. Приведем некоторые основные дуальные величины, понятия и законы (перечень этот может быть продолжен):

контур Û сечение; ветви дерева Û ветви связей;

параллельное Û последовательное соединения;

разрыв Û соединение накоротко.

Если уравнения для токов и напряжений одной цепи тождественны уравнениям для токов и напряжений другой цепи при замене в них всех величин на дуальные, такие две цепи являются дуальными. Узлам в дуальной цепи соответствуют элементарные ячейки исходной цепи. Дуальными могут быть только планарные цепи.

Принцип дуальности позволяет распространить результаты, полученные при анализе одних цепей, на дуальные соотношения в дуальных им цепях. Для нахождения структуры дуальной цепи можно воспользоваться преобразованием уравнений исходной цепи, заменяя входящие в них величины на дуальные. В простейших случаях дуальную цепь можно получить, применяя принцип непосредственно к топологическим понятиям и элементам. Так, последовательному соединению источника и индуктивности в дуальной цепи отвечает параллельное соединение источника тока и емкости.

Узлу 1 исходной цепи (рис. 6.1, а) в дуальной цепи (рис. 6.1, б) отвечает элементарная ячейка 1, включающая источник тока J и емкость C ₁, дуальную индуктивности L ₁.

Рис. 6.1

Узлу 2 исходной цепи отвечает в дуальной цепи ячейка 2. Нетрудно проверить, что все топологические характеристики второй цепи (см. рис. 6.1, б) тождественны таковым для дуальных величин исходной цепи. Обе цепи описываются и дуальными системами уравнений:

7, Задачи расчета цепей,. Законы Кирхгофа Задача анализа: Дано: R, L, C, топология, воздействие источников. Определить: Токи (напряжения) ветвей. т.е. определить реакцию при заданном воздействии. n_в – число неизвестных реакций. (Система из n_в уравнений) Для R, L, C цепей это система дифференциальных уравнений, для R цепей – система алгебраических уравнений.

I Закон Кирхгофа (для токов) ЗКТ: (Сумма входящих в узел токов равна сумме исходящих) ЗКТ справедлив не только для узлов, но и для сечений. Важно получать линейно независимые уравнения. Из математики известно, что система будет линейно независимой, если каждое уравнение будет содержать новую неизвестную. Если составлять уравнения по ЗКТ только для главных сечений, то они будут линейно независимыми. N_I=n_глсеч=n_вд=n_у-1.

II Закон Кирхгофа (для напряжений) ЗКН: Алгебраическая сумма напряжений замкнутого контура в любой момент времени равна нулю. Будем приписывать напряжению знак плюс, если при обходе контура будем попадать в плюсовую клемму и знак минус, если в минусовую. Для получения линейно независимых уравнений необходимо составлять уравнения только для главных контуров, тогда и каждое последующее уравнение будет содержать новое напряжение – напряжение ветви связи. N_II=n_глконт=n_в-n_у+1; N_I+N_II=n_у-1+n_в-n_у+1=n_в. Таким образом, задача анализа разрешима, причём единственным образом.

8 Основные свойства линейных цепей.

В общем смысле под электрической цепью понимают некоторую совокупность электротехнических устройств (элементов), соединенных между собой определенным образом. При этом в качестве устройств (элементов) могут использоваться источники, преобразователи и потребители электрической энергии.

Линейные электрические цепи представляют собой частный случай электрических цепей и характеризуются тем, что вольт-амперные характеристики всех элементов цепи линейны, а состояние самой цепи описывается с помощью линейных алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами. Те электромагнитные процессы, которые происходят в электрической цепи, есть не что иное, как реакция этой цепи на внешнее воздействие, под которым понимают приложенное напряжение (как постоянное, так и переменное). В линейных электрических цепях между внешним воздействием и реакцией цепи существуют линейно-пропорциональные соотношения. Например, если приложенное к цепи напряжение вызывает в каком-либо ее элементе (или участке) появление тока , то изменение величины в раз вызывает изменение тока в такое же число раз. То есть выполняются соотношения

которые выражают основное свойство линейной цепи.

Помимо этого такие цепи удовлетворяют принципу суперпозиции, согласно которому реакция линейной цепи на совокупность воздействий равна сумме реакций, вызываемых в той же цепи каждым воздействием в отдельности. Иными словами, если приложенное напряжение можно представить в виде суммы слагаемых

то возникающий в каком-либо элементе (или участке) цепи ток также будет представлять собой сумму слагаемых

Еще одним свойством линейных электрических цепей является свойство дуальности. При этом под дуальностью понимают схожесть по структуре выражений, описывающих зависимость напряжения от тока для одного элемента цепи, и тока от напряжения – для другого. Соответственно сами элементы называются дуальными. Например, для индуктивности L связь между напряжением и током определяется известным соотношением . Дуальным к нему будет уравнение, связывающее ток через другой элемент и напряжение на нем, сходное по виду. Этим уравнением является зависимость между током и напряжением для емкости . Таким образом, L и С – дуальные элементы.

Для линейных электрических цепей свойство дуальности проявляется в тождественности уравнений для токов и напряжений при замене всех входящих в них величин на дуальные. Пример дуальных цепей

а	б
Рис. 1.1. Дуальные цепи