Теорема об эквивалентных источниках

Пусть имеется произвольная цепь (рис. 2.10б), в которой требуется найти ток i_k в одной из ветвей с сопротивлением R_k, причем источники цепи вынесены наружу. Выясним, нельзя ли всю цепь по отношению к двухполюснику R_k заменить одним источником с напряжением u₀ и последовательно включенным сопротивлением R₀ так, чтобы режим работы R_k не изменился (рис. 2.10в). Если такая замена возможна, то , а u₀ и R₀ образуют эквивалентный источник напряжения, который заменяет действие всей цепи по отношению к R_k. Для доказательства сформулированной теоремы выполним следующие преобразования. Режим работы цепи не изменится, если в ветвь с сопротивлением R_k включить два одинаковых по величине источника напряжения противоположной полярности (рис. 2.11а), где u^’₀=u^”₀=u₀.

Будем определять i_k методом наложения, как сумму двух токов: i_k=i_k1+i_k2, где i_k1 – ток, обусловленный действием всех источников цепи и источником u^’0 (2.11б), а i_k2 – ток, вызываемый действием только источника u^”₀ (2.11в). Для цепи (2.11б) ток i_k1=(u_ab-u^’₀)/R_k. Выберем такое значение u^’₀, что бы ток i_k равнялся нулю. u^’₀=u_ab. Но если i_k1=0, то ветвь ab можно разомкнуть, и тогда u’₀ должно равняться напряжению холостого хода между полюсами ab, u^’₀=u_xx.

Доказанную теорему часто называют теоремой Тевенена, или теоремой об эквивалентном источнике напряжения. (Теорема Тевенена для линейных электрических цепей утверждает, что любая электрическая цепь, имеющая два вывода и состоящая из комбинации источников напряжения, источников тока и резисторов (сопротивлений), с электрической точки зрения эквивалентна цепи с одним источником напряжения V и одним резистором R, соединёнными последовательно. Обратная теорема называется теоремой Нортона). Для доказательства теоремы Нортона, преобразуем источник напряжения (2.10в) в источник тока i₀=u_xx/R₀.(2.12а). Тогда напряжения ветви u_k=i₀/(G₀+G_k). Тогда u_k=i_кз/(G₀+G_k).

10. Общая характеристика анализа переходных процессов во временной области. Понятие о переходных процессах, коммутация, собственные колебания цепи и вынужденный режим (порядок цепи и независимые начальные условия, расположение частот собственных колебаний цепей на комплексной плоскости).

Процесс перехода от одного энергетического состояния электрической цепи к другому называется переходным процессом. Переходный процесс вызывается коммутацией..

Переход от одного (докоммутационного) состояния к другому обычно происходит не мгновенно, а в течение некоторого времени – времени переходного процесса. Это объясняется тем, что каждому состоянию цепи соответствует определенный запас электро

магнитной энергии. Изменение же энергии в реактивных элементах не может происходить мгновенно, так как в этом случае мощность p=dw/dt, развиваемая в цепи, достигала бы бесконечно больших значений. Следовательно, не могут изменяться мгновенно и переменные, связанные с энергией. Следствием этих положений являются законы коммутации:

Для линейных цепей законы коммутации записывают так:

uC (0-) uC (0), iL (0-) iL (0).

Цель анализа переходных процессов в электрических цепях –определение временных законов изменения токов или напряжений на заданных участках цепи в переходном режиме.

Для расчета переходных процессов во временной области используются два метода: классический метод и метод интегралов наложения.

Расчет переходных процессов классическим методом сводится к решению системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, составленных на основании законов Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений. Эта система приводится к неоднородному дифференциальному уравнению n-го порядка, общее решение которого имеет вид

y(t) yчастн(t) + yoбщ (t),

где yчастн (t) – частное решение неоднородного дифференциального уравнения; yoбщ (t) – общее решение однородного уравнения. Здесь под y(t) понимается любой искомый ток или напряжение.

Частное решение неоднородного уравнения определяется видом функции, стоящей в правой части уравнения, и поэтому называется вынужденной составляющей yвын(t).

Для цепей с постоянными или периодическими напряжениями (токами) источников энергии вынужденное решение совпадает с установившимися значениями искомых функций.

Общее решение однородного уравнения описывает электромагнитный процесс, происходящий в схеме без воздействия внешних источников, и называется свободной составляющей yсв(t).

Следовательно

y(t) yвын (t) + yсв(t),

Порядок цепи – это максимальная степень дифференциального уравнения. Во многих случаях порядок равен числу накопительных элементов n=nc+nL, однако если цепь содержит C-контуры или L-сечения (узлы, у которых примыкающие ветви содержат L), то порядок цепи снижается.

Независимые начальные условия –это iL (0-) для L-элемента и

uC (0-) для С-элемента.

Вынужденный режим - режим (t∞)установившийся в цепи после коммутации.

Анализ переходных процессов в цепях n-го порядка проще всего проводить по уравнениям состояния. Цепь n-го порядка описывают формализованной систе­мой из п уравнений, каждое из которых является дифференциальным уравнени­ем первого порядка, записанным в нормальной форме (форме Коши):

[f’_пс(t)]=[A][f_пс(t)]+[B][f₁(t)] (1)

где [f₁(t)]- матрица источников (воздействий); [f_пс(t)]- матрица переменных состояния: [A], [ В] - матрицы коэффициентов.

В случае, если переменные состояния не совпадают с искомыми реакциями [f₂(t)].используют алгебраические уравнения связи реакций с переменными состояния и воздействиями:

[f₂(t)]=[M][f_пс(t)]+[N][f₁(t)]

где[M],[N] — матрицы коэффициентов.

В качестве переменных состояния допускается использовать любые переменные цепи (или их комбинации), однако расчет значительно упрощается, если в каче­стве переменных состояниявыбирают непрерывные функции и_ckи i_Ln, т. е. напря­жения емкостей и токи индуктивностей. Тогда система уравнений состояния (1) для цепи n-го порядка будет иметь вид:

(2)

т. е. производные переменных состояния нужно выразить через сами переменные состояния и воздействия. Для получения (2) используют вольт-амперные ха­рактеристики накопительных элементов и’_ck=i_ck/C_k,

i’_Ln= u_Ln/L_nт. е. вместо (2)

можно записать следующую систему:

Таким образом, для составления уравнений состояния достаточно выразить ток емкости i_ck и напряжение индуктивности u_Lnчерез переменные состояния и_ckи i_Lnи источники (воздействия) U_0k, i_0n.

13) Единичная ступенчатая функция –стандартное воздействие

кусочно-постоянная функция, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице — для положительных. В нуле эта функция, вообще говоря, не определена, однако её обычно доопределяют в этой точке некоторым числом, чтобы область определения функции содержала все точки действительной оси

– смещенная единичная ступенчатая функция

Если подать на цепь без запаса энергии, получится - стандартная реакция переходная характеристика.