Существование и свойства собственных базисов

В разделе "Матрица линейного преобразования" мы выяснили, что каждое линейное преобразование -мерного линейного пространства в фиксированном базисе задается матрицей. Если меняется базис, то, как правило, меняется и матрица. Возникает вопрос, нельзя ли найти базис, в котором матрица линейного преобразования имеет наиболее простой вид. В общем случае выбрать такой базис довольно сложно. Это связано с нахождением нормальной жордановой формы матрицы, изложение которого можно найти в более обстоятельных учебниках по линейной алгебре, например, в [4], [5]. Следующая теорема отвечает на этот вопрос в более простом случае.

Теорема 19.2 Пусть -- линейное преобразование -мерного линейного пространства. Матрица линейного преобразования имеет диагональный вид

(19.5)

тогда и только тогда, когда векторы базиса являются собственнными векторами преобразования , соответствующими собственным числам .

Доказательство. Пусть преобразование имеет линейно независимых собственных векторов , соответствующих собственным числам . Так как векторы линейно независимы, то они образуют базис. Найдем матрицу преобразования в этом базисе. Ее первый столбец является координатным столбцом вектора . Так как -- собственный вектор, то

Координатный столбец этого вектора . Второй столбец матрицы является координатным столбцом вектора . Так как -- собственный вектор, то

Координатный столбец этого вектора . Вычисляя аналогично остальные столбцы, получаем, что матрица линейного преобразования в базисе имеет вид (19.5). Первая часть теоремы доказана.

Пусть в некотором базисе матрица линейного преобразования имеет вид (19.5). Найдем образ вектора . Этот вектор имеет координатный столбец , его образ имеет координатный столбец

Следовательно, -- собственное число преобразования , а -- соответствущий ему собственный вектор. Аналогично находим, что любой базисный вектор является собственным вектором преобразования , соответствующим собственному числу .

Следствие 19.2 Если у матрицы порядка существует набор из линейно независимых собственнных векторов, соответствующих собственным числам , то матрица подобна диагональной матрице с числами на диагонали.

Теорема 19.3 Пусть собственные векторы преобразования соответствуют собственным числам , среди которых нет равных друг другу. Тогда система векторов является линейно независимой.

Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции по числу векторов. Если , то утверждение теоремы следует из того, что собственный вектор -- ненулевой.

Пусть утверждение верно для системы векторов . Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее к нулю

(19.6)

К обеим частям применим преобразование

По определению линейного преобразования получим

Так как -- собственные векторы, то

Умножим равенство (19.6) на и вычтем из последнего равенства. Получим

Так как по предположению индукции векторы линейно независимы, то

По условию , следовательно, . Подставим эти значения в (19.6), получим . Получили, что из равенства (19.6) следует , то есть векторы линейно независимы.

Следствие 19.3 Если матрица порядка имеет попарно различных собственных чисел, то она подобна диагональной матрице.