Переход к другим системам координат

Поскольку цилиндрическая система координат — только одна из многих трёхмерных систем координат, существуют законы преобразования координат между цилиндрической системой координат и другими системами.

Закон преобразования координат от декартовых к цилиндрическим:

Закон преобразования координат от цилиндрических к декартовым:

Сферическими координатами называют систему координат для отображения геометрических свойств фигуры в трёх измерениях посредством задания трёх координат , где r — расстояние до начала координат, а θ и — зенитный и азимутальный угол соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии. Вообще зенит — это направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей так называемой фундаментальной плоскости. В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Три координаты определены как:

— расстояние от начала координат до заданной точки P.

— угол между осью Z и отрезком, соединяющим начало координат и точку P.

— угол между осью X и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой P, на плоскость XY (в Америке углы θ и меняются ролями).

Вопрос

Функция называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Доказано, что все основные элементарные функции непрерывны на своей области определения.

Свойства функций непрерывных на промежутке:

Теорема 1

Если у = f (x) – непрерывна на отрезке АВ, то она ограничена на отрезке АВ

Теорема 2

Если y = f (x) – непрерывна на [ab], то она принимает на этом отрезке наибольшее значение (М) и наименьшее значение (m)

Теорема 3

Если y = f (x) – непрерывна на [ab] и на концах отрезка принимает значение разных знаков, то тогда внутри отрезка [ab] найдется, по крайней мере, одна точка x = C, в которой функция обращается в ноль:

f (C) = 0, где a < C< b

Вопрос 53. Точка Хо называется точкой разрыва y = f (x), если условия непрерывности в ней не выполняются

Классификация:

Точка Хо называется точкой разрыва 1го рода, если односторонние пределы при Х стремящемуся к Хо существуют.

lim f (x) = b lim f (x) = c

X->Xo-0 X->Xo+0

b=c – Хо точка устранимого разрыва

b не равно с – Хо точка скачка

Точка Хо называется точкой разрыва 2го рода, если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует.

Вопрос

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при Х стремящемуся к нулю, равен производной данной функции.

Пусть дельта Х->0, В->A, секущая -> касательной. Тогда производная функции равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, при дельта икс стремящемуся к нулю, равен тангенсу альфа и равен угловому коэффициенту касательной.

Производная y = f (x) в точке Хо равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции y = f (x) в точке (Хо; f (Хо)).

Уравнение касательной: Y = Yo + f’(Xo) (X – Xo)

Механический смысл производной

58. Производные шести тригонометрических функций и, соответственно, шести обратных тригонометрических функций определяются следующими формулами (рядом указана область определения каждой функции):

59. Найти формулу для производной функции arctg. Функция arctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:

Известно, что По приведенной выше формуле получаем:

Т.к. то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:

Таким образом получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса и других обратных функций, приведенных в таблице производных.

60. При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение: . Отсюда получим формулу для производной функции, заданной неявно: . Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением:

Если функция y = y(x) задана в параметрической форме  (t) и (t) —дифференцируемые функции и '(t) не равно 0, то производная '(x) вычисляется по формуле '(x)= '(t)/ '(t)

Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной . Эта функция называется производной функции , или первой производной от . (Иногда саму исходную функцию называют нулевой производной и обозначают тогда .) Функция , в свою очередь, может иметь производную во всех (или некоторых) точках интервала , которую мы обозначим и назовём второй производной функции . Если предположить, что вторая производная существует во всех точках , то она может также иметь производную , называемую третьей производной функции , и т. д. Вообще, -й производной функции называется производная от предыдущей, -й производной , если эта производная существует. -я производная называется также производной -го порядка, а её номер называется порядком производной. При первую, вторую и третью производные принято обозначать штрихами: или ; при прочих -- числом в скобках в верхнем индексе: или .

Выясним механический смысл второй производной. (Механический смысл первой производной – скорость).Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону s =s(t), где s – путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость v этого движения есть v= s'(t) = v(t), т.е. тоже некоторая функция времени.В момент времени t скорость имеет значение v=v(t). Рассмотрим другой момент времени t +Δ t. Ему соответствует значение скорости v ₁ = v (t +Δ t). Следовательно, приращению времени Δ t соответствует приращение скорости Δ v = v ₁ – v = v (t + Δ t) – v (t). Отношение называется средним ускорением за промежуток времени Δ t. Ускорением в данный момент времени t называется предел среднего ускорения при Δ t →0:

.Таким образом, ускорение прямолинейного движения точки есть производная скорости по времени. Но как мы уже видели, скорость есть производная пути s по времени t: v = s '. Учитывая это, имеем: a = v '(t) = (s ')' = s ''(t),т.е. ускорение прямолинейного движения точки равно 2-й производной пути по времени a = S''(t).