Каноническое уравнение прямой

;

,

(8)

,

Уравнение прямой в отрезках.Прямая линия, пересекающая ось Ox в точке и ось Oy в точке :

В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.

№28. Плоскость в пространстве R³. Уравнения плоскости: по точке и нормальному вектору, общее уравнение плоскости, частные случаи.

(x₀;y₀;z₀) – координаты данной точки плоскости,

A; B; C - координаты нормального вектора,

(x;y;z) – координаты текущей точки плоскости.

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0 – уравнение плоскости по точке и нормальному вектору.

Ax+By+Cz+D=0 общее уравнение плоскости.

Частные случаи:

Π: Ax+By+Cz+D=0

а) В=0, П: Ax+Cz+D=0

n = A; 0; C

j = 0; 1; 0, n × j = 0 => векторы перпендикулярны, значит j // П, т.е. Оу // П

Если в уравнение плоскости не входит одна из координат, то плоскость параллельна соответствующей оси.

б) А=0, В=0

П: Сz+D=0

n = 0; 0; C

k = 0; 0; 1, n // k => П // Оху

если в уравнение плоскости не входят две координаты, то плоскость параллельна соответствующей координатной плоскости.

в) D=0

П: Ax+By+Cz = 0, точка O (0; 0; 0) ϵ П

№29. Векторное уравнении плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Плоскость в «отрезках». Нормальное уравнение плоскости.

Векторное уравнение плоскости

М₀(x₀;y₀;z₀) – данная точка плоскости.

М (x;y;z) –текущая точка плоскости.

n = A; B; C - нормальный вектор

Представим вектор М₀М через радиус-векторы ОМ₀=r₀ и ОМ=r

M₀M= r-r₀

П: (r-r_0, n) = 0 скалярное произведение равно нулю

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

М (x;y;z) –текущая точка плоскости.

М₁ (x₁;y₁;z₁)

М₂ (x₂;y₂;z₂) данные точки плоскости

М₃ (x₃;y₃;z₃)

M₁M₂ = x₂-x₁; y₂-y₁; z₂-z₁

M₁M = x-x₁; y-y₁; z-z₁

M₁M₃ = x₃-x₁; y₃-y₁; z₃-z₁

M₁M₂, M₁M, M₁M₃ - компланарные векторы

= 0
Плоскость в «отрезках».

Пусть М₁ (a; 0; 0), М₂ (0; b; 0), М₃ (0; 0; c)

= 0

bc(x-a) +abz + acy = 0

bcx + abz + acy = abc │: abc

П: x/a +y/b+z/c = 1

Нормальное уравнение плоскости.

Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение, написанное в виде

где , , - направляющие косинусы нормали плоскоти, p - расстояние от начала координат до плоскости. При вычислении направляющих косинусов нормали следует считать, что она направлена от начала координат к плоскости

№30 Угол между двумя плоскостями. Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Расстояние от точки до плоскости.

П₁: A₁x+B₁y+C₁z+D₁ = 0 n₁ = A₁; B₁; C₁

П₂: A₂x+B₂y+C₂z+D₂ = 0 n₂ = A₂; B₂; C₂

а) П₁ // П₂, n₁ // n₂ A₁/ A₂= B₁/ B₂= C₁/ C₂≠ D₁/ D₂

б) П₁ П₂, n₁ n₂ A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0

в) П₁ ∩ П₂ , (П₁ ^ П₂) = α, cosα = │n₁ × n₂ │ │n₁│ × │n₂│

Пусть - какая угодно точка пространства, d - расстояние от нее до данной плоскости. Отклонением точки от данной плоскости называется число +d, если точка и начало координат лежат по разные стороны от данной плоскости, и число -d, если они лежат по одну сторону от данной плоскости (если лежит на самой плоскости, то отклонение равно нулю).

Если точка имеет координаты , , , а плоскость задана нормальным уравнением

,

то отклонение точки от этой плоскости дается формулой

.

Очевидно, .

Общее уравнение плоскости

приводится к нормальному виду умножением на нормирущий множитель, определяемый формулой

; знак нормирующего множителя берется противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.

31) Изучим пространство Rn с другой точки зрения. Будем рассматривать его элементы не как векторы, а как точки, то есть А(х1, х2,.., хn), где хi - координаты точки А (i = 1, 2,..., n). О(0,...,0) - назовем началом координат.

Элементы R, R2, R3 можно интерпретировать как координаты точек соответственно на прямой, на плоскости, в пространстве; поэтому R принято называть числовой прямой, R2 - числовой плоскостью, R3 - числовым пространством.

Как мы уже знаем, при n>3 непосредственное обращение к геометрии невозможно, но многие факты, относящиеся к Rn, носят общий характер, не зависящий от n. Так свойства решений линейных уравнений и методы их исследования не зависят от числа переменных. Тогда можно сказать, что в этом смысле пространство Rn обладает геометрическими свойствами, подобными свойствам пространств R, R2, R3. Множества точек в R4 (“фигуры”) будем задавать с помощью уравнений, неравенств с n переменными и их систем как области их решений.

Определение 1. Область решений совместной системы линейных уравнений с n переменными ранга r назовем k-мерной плоскостью в Rn, где k = n - r (k - число свободных, а r - базисных переменных.)

Отметим два случая:

1. r = n, k = 0. Система имеет единственное решение, которое представляет собой точку в Rn, то есть точку можно считать нуль-мерной плоскостью.

2. r = 0, k = n. Все уравнения являются тождествами (0 = 0), все переменные свободные, область решений системы совпадает со всем пространством Rn, то есть само пространство можно считать n-мерной плоскостью.

Если этих два крайних случая исключить из рассмотрения, то очевидно, что k может меняться в пределах 1? k? n - 1.

Определение 2. Плоскость наибольшей возможной в Rn размерности, но не совпадающей со всем пространством, то есть (n-1)-мерную плоскость, называют гиперплоскостью, а плоскость наименьшей возможной размерности, но не являющуюся точкой, то есть одномерную плоскость, называют прямой.

Примеры.

R - само одномерно и в нем не может быть плоскостей меньшей размерности.

R2 - (числовая плоскость) - в нем гиперплоскость совпадает с прямой - это одномерная плоскость.

R3 - (числовое пространство) - здесь гиперплоскостью является двухмерная плоскость, а прямой - одномерная плоскость; других плоскостей нет.

З а м е ч а н и е. При n > 3 кроме гиперплоскостей и прямой существуют плоскости промежуточных размерностей (n-2)-мерные,..., трехмерные, двухмерные.

Гиперплоскость обычно задают одним линейным уравнением

a1?x1 + a2?x2 +... + an?xn = b, (1.1)

в котором не все коэффициенты равны нулю, то есть

. (1.2)

Условие (1.2) равносильно тому, что ранг системы, состоящей из одного уравнения (1.1), равен 1.

Пусть теперь система состоит из двух уравнений

. (1.3)

Если ее матрица А имеет ранг 1, то

В этом случае гиперплоскости, определенные уравнениями системы (1.3), называются параллельными и, если

,

(то есть ранг расширенной матрицы равен 2), то система несовместна:

гиперплоскости, определенные уравнениями системы (1.3), не имеют общих точек (не пересекаются); если же

,

(то есть ранг расширенной матрицы равен 1), то система сводится к одному уравнению, две гиперплоскости совпадают.

И наконец, если ранг матрицы А равен 2, то система определяет (n-2)-мерную плоскость.

Прямую можно задать совместной системой линейных уравнений с n переменными ранга r = n-1. Если известны две точки А(а1,а2,..,аn), B(b1,b2,..,bn) прямой, то эту систему можно записать в виде

, (1.4)

где X(x1, x2,.., xn) - текущая переменная точка прямой.

Систему уравнений (1.4) называют уравнениями прямой, проходящей через две точки А и В.

Общее уравнение плоскости в R3

Зафиксируем произвольную декартову прямоугольную систему координат Oxyz и рассмотрим произвольное уравнение первой степени

А?х + В?у + С?z + D = 0, (2.1)

где A, B, C, D - произвольные константы, хотя бы одна из которых не равна 0.

Уравнение (2.1) заведомо имеет хотя бы одно решение (x0, y0, z0).

Действительно, пусть С? 0, следовательно, взяв произвольные (x0, y0), мы получим,

то есть существует точка М0(x0, y0, z0) такая, что

А?х0 + В?у0 + С?z0 + D = 0, (2.2)

которое эквивалентно (2.1).

Рассмотрим разность между (2.1) и (2.2).

Мы получим

А?(х - х0) + В?(y - у0) + С?(z - z0) + D = 0, (2.3)

которое эквивалентно (2.1).

Докажем, что уравнение (2.2) и, стало быть, уравнение (2.1), определяет плоскость (П) в Oxyz.

Пусть вектор

,

то есть хотя бы одна координата его не равна 0.

Возьмем произвольную точку М0(x, y, z), принадлежащую плоскости П, то есть ее координаты удовлетворяют уравнению (2.3), ибо в этом случае вектор перпендикулярен вектору () и их скалярное произведение

А?(х - х0) + В?(y - у0) + С?(z - z0) (2.4)

равно нулю.

Если точка М(x,y,z) не принадлежит плоскости П, то ее координаты не удовлетворяют (2.3), ибо в этом случае вектор не перпендикулярен вектору и (2.3) не равно нулю.

Таким образом, мы доказали следующее утверждение.

Теорема 2.1. Если в R3 фиксирована произвольная декартова система координат Oxyz (прямоугольная), то всякое уравнение первой степени с тремя переменными x,y,z определяет относительно этой системы плоскость.

З а м е ч а н и я.

1. Уравнение (2.1) с произвольными коэффициентами А, В, С (хотя бы один из которых не должен быть равен нулю) называется общим уравнением плоскости в R3.

2. Если два общих уравнения

А?х + В?у + С?z + D = 0

и

А1?х + В1?у + С1?z + D1 = 0

определяют одну и ту же плоскость, следовательно, существует число t, такое, что справедливы равенства

A1 = t?A, B1 = t?B, C1 = t?C, D1 = t?D.

Прямая линия R3

Прямую в пространстве R3 можно задать как пересечение двух плоскостей, определяемых уравнениями

(3.1)

Приведем (3.1) к каноническому виду.

Для этого достаточно найти:

1) хотя бы одну точку М1(x1,y1,z1), через которую проходит прямая

Так как плоскости, определяемые (3.1), не параллельны и не сливаются, то нарушается (2.6), то есть хотя бы одна из пропорций

,

а это значит, что хотя бы один из определителей второго порядка

,,

отличен от нуля.

Пусть, например,

.

Тогда, взяв вместо z произвольное число z1 и подставив его в уравнение (3.1), можно определить соответственно x1 и y1

(3.2)

Можно взять z1=0. Тогда, воспользовавшись (3.2), получим, что прямая проходит через точку.

Пусть текущая точка М(x,y,z). Тогда уравнение линии можно записать в виде

. (3.3)

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки М1(x1,y1,z1) и М2(x2,y2,z2), имеет вид

. (3.4)

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М1(x1,y1,z1) и перпендикулярной плоскости А?х + В?у + С?z + D = 0, имеет вид

. (3.5)

Уравнение прямой, параллельной данной плоскости и проходящей через данную точку М0(x0,y0,z0).

Пусть плоскость П задана уравнением

А1?х + В1?у + С1?z + D1 = 0.

Тогда уравнение прямой имеет вид

А1?(х - x0) + В1?(y - y0) + С1?(z - z0) + D1 = 0

32) Взаимное расположение прямой J и плоскости L:

Пусть заданы: J: Глава 5 Линейные и квадратичные формы. Линейная алгебра, L: Ax + By + Cz + D = 0,

Условие параллельности: Ak + Bl + Cm = 0,

условие перпендикулярности: Глава 5 Линейные и квадратичные формы. Линейная алгебра

3. Угол a между прямой J и плоскостью L:

Глава 5 Линейные и квадратичные формы. Линейная алгебра

Все полученные результаты обобщаются на векторное пространство произвольной размерности. Например, каноническое уравнение прямой J в Rn будет иметь вид:

(х1 – х01)/A1 = (х2 – х02)/A2= …= (хn – х0n)/An

где:(х01,х02…,х0n)и(х1,х2…,хn)–координаты точек Р0 и Р прямой J,

(A1,A2, …,An) – координаты нормали р.

33) Поверхности второго порядка

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением

(1).

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Величины a, b, c суть полуоси эллипсоида (рис. 1). Если все они различны, эллипсоид называется трехосным; в случае, когда какие-нибудь две из них одинаковы, эллипсоид называется вытянутым, при a=b>c - сжатым. В случае, когда a=b=c, эллипсоид представляет собой сферу.

Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями

, (2)

. (3)

Гиперболоид, определяемый уравнением (2), называется однополостным (рис. 2); гиперболоид, определяемый уравнением (3), - двуполостным (рис. 3); уравнения (2) и (3) называются каноническими уравнениями соответствующих гиперболоидов. Величины a, b, c называются полуосями гиперболоида. В случае однополостного гиперболоида, заданного уравнением (2), только первые из них (а и b) показаны на рис. 2. В случае двуполостного гиперболоида, заданного уравнением (3), одна из них (именно, с) показана на рис. 3. Гиперболоиды, определяемые уравнениями (2) и (3), при a=b являются поверхностями вращения.

34.Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a23yz + 2a13xz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0

в котором по крайней мере один из коэффициентов a11, a22, a33, a12, a23, a13 отличен от нуля.