Понятие евклидова пространства. Примеры.Неравенства Коши-Буняковского и треугольника

1.Понятие евклидова пространства.Примеры: Будем говорить, что в вещественном пространстве R определено скалярное произведение, если каждой паре векторов поставлено в соответствие действительное число, которое обозначим через причем это соответствие обладает следующими свойствами (удовлетворяет следующим аксиомам):1⁰ , т.е. скалярное произведение симметрично. 2⁰, где -- действительное число.3⁰ (дистрибутивность скалярного произведения).4⁰ Скалярное произведение вектора с самим собой неотрицательно: , и обращается в нуль, лишь если .Аффинное пространство, в котором определено скалярное произведение, удовлетворяющее условиям 1⁰-4⁰, мы называем евклидовым.

Примеры: 1) Под векторами пространства R мы будем понимать векторы изучаемого в элементарной геометрии трехмерного пространства. Скалярное произведение векторов определим как произведение их длин на косинус угла между ними. Очевидно, что аксиомы 1⁰-4⁰ действительно выполнены. 2) Векторами пространства R назовем всякую систему n действительных чисел . Сложение векторов и умножение их на число определим так: ,где

Скалярное произведение векторов x и y определим формулой Легко проверить, что аксиомы 1⁰-3⁰ действительно выполнены. Аксиома 4⁰ также справедлива, так как и только при 3) Векторами пространства R мы будем называть непрерывные функции, заданные на интервале (a,b); скалярное произведение таких функций определим как интеграл их произведения . 4) Будем считать векторами многочлены от t степени не выше n-1. Скалярное произведение двух многочленов определим как и в предыдущем примере: