Смешанное произведение. Основная статья: Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

(равенство записано для разных обозначений скалярного и векторного произведения).

Иногда смешанное произведение называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрически смешанное произведение есть (ориентированный) объем параллелепипеда, построенного на векторах .

11. Проекция вектора на ось есть скалярная величина, равная произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между положительными направлениями оси и вектора (см. рисунок).

Проекция вектора на ось обозначается через a_l или , а угол между осью и вектором будем обозначать так: . Таким образом,

(2)

Если - углы, образованные вектором с координатными осями Ox, Oy и Oz прямоугольной системы координат, то проекции вектора на координатные оси будут равны

(3)

В дальнейшем предполагается, что система координат - прямоугольная.

Модуль вектора через его проекции на оси прямоугольной системы координат вычисляется по формуле

(4)

т. е. модуль вектора равен арифметическому значению квадратного корня из суммы квадратов его проекций.

Проекция вектора на ось.

Пусть дава векторная ось ОХ и лежащая вне оси точка М.

Опр: проекцией точки М на ось ОХ называется основание перпендикуляра, опущенный из точки М на эту ось..

В случае, когда точка М лежит на оси ОХ, проекцией точки М на эту ось считается сама точка М Выражение «проекция вектора на ось ОХ» употребляется в 2 смыслах – геометрическом и алгебраическом.

Опр: проекцией (геометрической) на вектора АВ на ось ОХ называется вектор А1В1 такой, что А1-проекция А на ОХ, В1 – проекция В на ось ОХ

Проекцией (алгебраической) вектора АВ на ось ОХ называется длина вектора А1В1, взятая со знаком + если направление А1В1 совпадает с направлением оси ОХ, и со знаком – если не совпадает.

Геометрическая проекчия вектора – вектор.

Алгебраическая проекция вектора – число!