Характеристическая функция

Во многих задачах полезной характеристикой случайной величины является её характеристическая функция. Характеристической функцией случайной величины называется математическое ожидание комплексной случайной величины , рассматриваемое как функции параметра (здесь и далее в этой части – мнимая единица). Таким образом, характеристичская функция непрерывной случайной величины задаётся формулой

, где – плотность вероятности.

Отметим следующие свойства характеристической функции:

1) при любом действительном значении характеристическая функция по модулю не превосходит единицы, то есть

2) характеристическая функция равна единицы при , то есть .

Плотность вероятности случайной величины можно выразить через её характеристическую функцию:

Таким образом, характеристическая функция случайной величины является её полной вероятностной характеристикой. Зная характеристическую функцию случайной величины, можно найти её плотность вероятности, а следовательно, и функцию распределения, то есть полностью определить закон распределения случайной величины. Через характеристическую функцию можно выразить также числовые характеристики случайной величины, в частности её математическое ожидание и дисперсию: