Числовые характеристики случайных векторов. Математическое ожидание, дисперсия, ковариация

Математическое ожидание

Пусть (x, h) - двумерная случайная величина, тогда M (x, h)=(M (x), M (h)), т.е. математическое ожидание случайного вектора - это вектор из математических ожиданий компонент вектора.

Если (x, h) - дискретный случайный вектор с распределением

	y 1	y 2	...	y m
x 1	p 11	p 12	...	p 1 m
x 2	p 12	p 12	...	p 2 m
...	...	...	pij	...
xn	pn 1	pn 2	...	pnm

то математические ожидания компонент вычисляются по формулам:

, .

Эти формулы можно записать в сокращенном виде.

Обозначим и , тогда и .

Если p _{(x, h)}(x, y)- совместная плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины (x, h), то

и .

Поскольку -плотность распределения случайной величины x, то и, аналогично, .

Дисперсия

Понятие дисперсии обобщается на многомерные случайные величины нетривиальным образом. Это обобщение будет сделано в следующем разделе. Здесь лишь приведем формулы для вычисления дисперсии компонент двумерного случайного вектора.

Если (x, h) - двумерная случайная величина, то

D x = M (x - M x)² = M x ² - M (x)², D h = M (h - M h)² = M h ² - M (h)².

Входящие в эту формулу математические ожидания вычисляются по приведенным выше формулам.

Ковариация

Если между случайными величинами x и h существует стохастическая связь, то одним из параметров, характеризующих меру этой связи является ковариация cov(x, h). Ковариацию вычисляют по формулам cov(x, h)= M [(x - M x)(h - M h)] = M (x h) - M x M h.

Если случайные величины x и h независимы, то cov(x,h)=0.

Обратное, вообще говоря, неверно. Из равенства нулю ковариации не следует независимость случайных величин. Случайные величины могут быть зависимыми в то время как их ковариация нулевая! Но зато, если ковариация случайных величин отлична от нуля, то между ними существует стохастическая связь, мерой которой и является величина ковариации.

Свойства ковариации:

cov(x, x) = D x;

;

;

,

где C ₁ и C ₂ - произвольные константы.

Ковариационной матрицей случайного вектора (x,h) называется матрица вида

.

Эта матрица симметрична и положительно определена. Ее определитель называется обобщенной дисперсией и может служить мерой рассеяния системы случайных величин (x,h).

Как уже отмечалось ранее, дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: . Если же случайные величины зависимы, то .