Условный закон распределения. Условное математическое ожидание

Условным законом распределения называется распределение одной случайной величины, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение.

Условные ряды вероятностей для дискретных составляющих Х и Y определяются по формулам

p_{i / j} = P(X = x_i / Y = y_j) = p_ij /P(Y = y_j)=

, i = 1,..., N; (10.15)

p_{j / i} = P(Y = y_j / X = x_i) = p_ij /P(X = x_i)=

= , j = 1,..., M. (10.16)

Условное распределение может быть представлено в виде таблицы:

Y	y1	...	yj	...	ym
p(y/xi)	p(y1/xi)	...	p(yj/xi)	...	p(ym/xi)

Заметим, что

Условное математическое ожидание в теории вероятностей — это среднее значение случайной величины относительно условного распределения.

УСЛОВНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ

случайной величины-функция элементарного события, характеризующая случайную величину по отношению к нек-рой -алгебре. Пусть -вероятностное пространство, Х - заданная на нем случайная величина с конечным математич. ожиданием, есть -алгебра, У. м. о. случайной величины Xотносительно -алгебры наз. случайная величина измеримая относительно -алгебры и такая, что

для каждого Если математич. ожидание случайной величины X бесконечно (но определено), т. е. конечна только одна из величин и то определение У. м. о. посредством (*) имеет смысл, но может принимать бесконечные значения.
У. м. о. определяется однозначно с точностью до эквивалентности. В отличие от математического ожидания, являющегося числом, У. м. о. представляет собой функцию (случайную величину).
Свойства У. м. о. аналогичны свойствам математич. ожидания:

1) если почти наверное
2) для любого действительного с;
3) для любых действительных и
4)
5) для выпуклых функций g(x).

Кроме того, имеют место следующие специфические для У. м. о. свойства:

6) если -тривиальная -алгебра, то
7)
8)
9) если Xне зависит от -алгебры то
10) если Yизмерима относительно -алгебры то
Имеет место теорема о сходимости под знаком У. м. о.: если X₁, Х ₂ ,... - последовательность случайных величин, п=1, 2,.... и почти наверное, то почти наверное
У. м. о. случайной величины Xотносительно случайной величины Yопределяется как У. м. о. Xотносительно -алгебры, порожденной У.
Частным случаем У. м. о. является условная вероятность.