Числовые характеристики случайных величин. Моменты распределения случайных величин. Математическое ожидание и его св-ва

Функция распределения содержит полную информацию о случайной величине. Частичную информацию о случайной величине дают числовые характеристики, которые в зависимости от рода информации делятся на следующие группы.
1. Характеристики положения случайной величины на числовой оси (мода Мo, медиана Мe, математическое ожидание М(Х)).
2. Характеристики разброса случайной величины около среднего значения (дисперсия D(X), среднее квадратическое отклонение σ(х)).
3. Характеристики формы кривой y = φ(x) (асимметрия As, эксцесс Ех).
Рассмотрим подробнее каждую из указанных характеристик.
Ма тематическое ожидание случайной величины Х указывает некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения Х. Для дискретной случайной величины, которая может принимать лишь конечное число возможных значений, математическим ожиданием называют сумму произведений всех

возможных значений случайной величины на вероятность этих значений:
. (2.4)
Для непрерывной случайной величины Х, имеющей заданную плотность распределения φ(x) математическим ожиданием называется следующий интеграл:
. (2.5)
Здесь предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т.е. существует.
Свойства математического ожидания:
1. М(С) = C, где С = const;
2. M(C ∙ Х) = С ∙ М(Х);
3. М(Х ± Y) = М(Х) ± М(Y), где X и Y – любые случайные величины;
4. М(Х ∙ Y)= М(Х)∙ М(Y), где X и Y – независимые случайные величины.
Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.
Модой дискретной случайной величины, обозначаемой Мо, называется ее наиболее вероятное значение (рис. 2.3), а модой непрерывной случайной величины – значение, при котором плотность вероятности максимальна (рис. 2.4).
Рис. 2.3 Рис. 2.4
Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение Ме, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше Ме, т.е.
Р(Х < Ме) = Р(X > Ме)
Из определения медианы следует, что Р(Х < Ме) = 0,5, т.е. F (Ме) = 0,5. Геометрически медиану можно истолковывать как абсциссу, в которой ордината φ(x) делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения (рис. 2.5). В случае симметричного распределения медиана совпадает с модой и математическим ожиданием

Рис. 2.5 Рис. 2.6
Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания
D(X) = M(X – М(Х))².
Дисперсию случайной величины Х удобно вычислять по формуле:
а) для дискретной величины
; (2.6)
б) для непрерывной случайной величины
j(х)d x – [M(X)]² . (2.7)
Дисперсия обладает следующими свойствами:
1. D(C) = 0, где С = const;
2. D(C × X) = C²∙ D(X);
3. D (X ± Y) = D (X) + D (Y), если X и Y независимые случайные величины.
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется арифметический корень из дисперсии, т.е.
σ(X) = .
Заметим, что размерность σ(х) совпадает с размерностью самой случайной величины Х, поэтому среднее квадратическое отклонение более удобно для характеристики рассеяния.
Обобщением основных числовых характеристик случайных величин является понятие моментов случайной величины.
Начальным моментом k-го порядка α _k случайной величины Х называется математическое ожидание величины Х^k, т.е. α _k = М(Х^k).
Начальный момент первого порядка – это математическое ожидание случайной величины.
Центральным моментом k-го порядка μ _k случайной величины Х называется математическое ожидание величины (Х – М(Х)) ^k, т.е. μ _k = М(Х – М(Х)) ^k.
Центральный момент второго порядка – это дисперсия случайной величины.
Для дискретной случайной величины начальный момент выражается суммой α _k = , а центральный – суммой μ _k = где р_i = p(X = x_i). Для начального и центрального моментов непрерывной случайной величины можно получить следующие равенства:
α _k = ,  μ _k = ,
где φ(x) – плотность распределения случайной величины Х.
Величина As = μ₃ / σ³ называется коэффициентом асимметрии.

Если коэффициент асимметрии отрицательный, то это говорит о большом влиянии на величину m₃ отрицательных отклонений. В этом случае кривая распределения, более полога слева от М(Х). Если коэффициент As положительный, а значит, преобладает влияние положительных отклонений, то кривая распределения более полога справа. Практически определяют знак асимметрии по расположению кривой распределения относительно моды (точки максимума дифференциальной функции).

Рис. 2.7
Эксцессом Еk называется величина
Еk = μ₄ / σ⁴ – 3.
Можно показать, что для наиболее распространенного в природе нормального закона распределения, который будет рассматриваться в следующем параграфе, отношение μ₄ / σ⁴ = 3. Поэтому эксцесс служит для сравнения данного распределения с нормальным, у которого эксцесс равен нулю. Можно было бы доказать, что распределения более островершинные, чем нормальное, имеют эксцесс Еk > 0, а более плосковершинные – имеют эксцесс Еk < 0 (рис.3.8).

Рис. 2.8

Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс (статические моменты, моменты инерции и т.д.). Теми же приемами пользуются и в теории вероятностей. Чаще на практике применяются моменты двух видов: начальные и центральные.

Начальный момент s -го порядка СВ X есть математическое ожидание s -й степени этой случайной величины: a _s = M[ X^s ].

(6.7)

Математическое ожидание случайной величины является начальным моментом первого порядка

Центрированной случайной величиной называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания:

.

Центрирование случайной величины аналогично переносу начала координат в среднюю, «центральную» точку, абсцисса которой равна математическому ожиданию случайной величины.

Центральным моментом s -го порядка СВ X есть математическое ожидание s -й степени центрированной случайной величины: m _s = M [(X-m_x) ^s ].

(6.8)

Очевидно, что для любой случайной величины Х центральный момент первого порядка равен нулю:

Аналогично можно получить моменты не только относительно начала координат (начальные моменты) или математического ожидания (центральные моменты), но и относительно произвольной точки а.

В теории вероятности и во многих ее приложениях большое значение имеют различные числовые характеристики случайных величин. Основными из них являются математическое ожидание и дисперсия.

1. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.

Свойство 1. Математическое ожидание по­стоянной величины равно самой постоянной: М(С) = С.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выно­сить за знак математического ожидания: М(СХ) = СМ(Х).

Для понимания последующих свойств дополнительно введем несколько комментарий

Две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие воз­можные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы. Несколько случайных величин назы­вают взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Произведение независимых случай­ных величин X и Y можно определить как случайную величину XY, возможные зна­чения которой равны произведениям каждого возможного значения X на каждое возможное значение У; вероятности возможных значе­ний произведения XY равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей. Причем некоторые произведения могут оказаться рав­ными между собой. В этом случае вероятность возможного значения произведения равна сумме соответствующих вероятностей.

Свойство 3. Математическое ожидание произведе­ния двух независимых случайных величин равно произведе­нию математических ожиданий сомножителей

M(XY) = M(X)·M(Y).

Следствие. Математическое ожидание произведе­ния нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Например, для трех случайных величин имеем:

М (XYZ) = М (XY ·Z) = M (XY) M(Z)=M (X) ·М (Y) · М (Z).

Для произвольного числа случайных величин дока­зательство проводится методом математической индукции.

Свойство 4. Математическое ожидание суммы (разности) двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий слагаемых. Математическое ожидание разности двух случайных величин равно разности их математических ожиданий слагаемых.

M(X+Y) = M(X) + M(Y); M(X-Y) = M(X)-M(Y)

Эти свойство также распространяется на любое количество событий