Понятие о градиенте, дивергенции и роторе

Градиент скалярной функции – это вектор, указывающий направление наиболее быстрого возрастания скалярной функции и по абсолютному значению равный наибольшей скорости возрастания этой функции.

(14.12)

Градиент направлен по нормали к поверхности равного уровня скалярной функции в данной точке. Градиент скалярного потенциала φ постоянного во времени поля равен:

(14.13)

где – нормаль к эквипотенциальной поверхности в данной точке поля.

Градиент скалярного потенциала φ в каждой точке совпадает с касательной к силовой линии напряженности электрического поля в данной точке и имеет направление, противоположное вектору (рис. 14.3).

Рис. 14.3. Картина электрического поля

Дивергенция (расхождение вектора) – это алгебраическая скалярная величина, характеризующая источники поля в рассматриваемой точке поля или указывающая на отсутствие источников

.

Численно дивергенцию в данной точке определяют как предел, к которому стремится отношение потока вектора через замкнутую поверхность к объему, ограниченному этой поверхностью, при стремлении этого объема к нулю

.(14.14)

Если div > 0, то имеются источники поля и линии вектора расходятся из данной точки. Точка наблюдения служит началом (истоком) линий вектора .

Если div < 0, то в точке наблюдения линии вектора сходятся, т.е. она служит стоком линий вектора .

Если div = 0, то в рассматриваемой точке отсутствует источник линий вектора .

Картина электрического поля при наличии и отсутствии зарядов показана на рис. 14.4. Например, если имеется объемный положительный заряд +ρ, то он является истоком вектора электрического смещения .

Рис. 14.4. Электрическое поле при наличии и отсутствии электрических зарядов

Дивергенция вектора магнитной индукции всегда равна нулю, так как линии вектора замкнуты (не имеют начала и конца).

В декартовой системе координат

(14.15)

Ротор (вихрь) вектора поля rot – это вектор, характеризующий интенсивность вихревых полей в каждой точке. Ротор проявляет себя как вихрь, поэтому он имеет ось. Направление оси определяет направление вектора, изображающего ротор.

Численно составляющую ротора в направлении нормали к плоской площадке Δ s определяют как предел, к которому стремится отношение циркуляции вектора к площадке Δ s, ограниченной контуром интегрирования, при стремлении ее к нулю (рис. 14.5)

. (14.16)

Если вихревое поле в некоторой области не имеет внутри источников векторных линий, то rot ≠ 0 (div = 0).

Запишем ротор вектора в декартовой системе координат

(14.17)

Рис. 14.5. К пояснению определения ротора вектора

где: . (14.18)

(14.19)

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ ФГБОУ ВПО «БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЗАУРАЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ

Экзаменационный билет №21 Кафедра: ФИЗИКИ, МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ Дисциплина: Теоретические основы электротехники Направления «Агроинженерия» II курс

УТВЕРЖДЕНО НА ЗАСЕДАНИИ КАФЕДРЫ «» 2012 г. Зав. кафедрой ____________Музафаров С. М.

Формы записи уравнений Максвелла.

Основные положения индуктивно связанных цепей.

Задача.

1.Формы записи уравнений Максвелла

Уравнения Максвелла являются фундаментальными уравнениями электромагнитного поля. Эти уравнения могут быть записаны в интегральной, дифференциальной или комплексной форме. Интегральная форма записи уравнений устанавливает связь между величинами в разных точках поля или на разных отрезках, поверхностях. Дифференциальная форма описывает соотношение между величинами вблизи одной и той же точки поля в определенный момент времени. Эту форму записи применяют при исследовании полей, изменяющихся от точки к точке. Гармонически изменяющиеся электромагнитные поля (когда проекции вектора на координатные оси являются гармоническими функциями времени) удобно характеризовать уравнениями Максвелла в комплексной форме. Переход от интегральной формы записи уравнений к дифференциальной осуществляется с помощью теорем Остроградского-Гаусса и Стокса (14.20) и (14.21). Система уравнений электромагнитного поля включает в себя четыре основных уравнения Максвелла и уравнения связи между векторами поля и параметрами , характеризующими свойства среды. 1. Закон полного тока – первое уравнение Максвелла . (14.37) Ток смещения , также как и ток проводимости , создает магнитное поле. Изменяющееся во времени электрическое поле создает магнитное поле. Направление вектора напряженности магнитного поля связано с направлением полного тока и определяется правилом правоходового винта. 2. Закон электромагнитной индукции – второе уравнение Максвелла (14.38) Изменение магнитной индукции во времени создает электрическое поле, направление которого связано с направлением и определяется правилом левоходового винта. 3. Принцип непрерывности магнитных силовых линий . (14.39) Магнитный поток через замкнутую поверхность равен нулю. Магнитные силовые линии всегда замкнуты и не имеют ни истоков, ни стоков. 4. Обобщенная теорема Гаусса (14.40) Поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся внутри замкнутой поверхности. 5. Уравнения связи между векторами и , и , и в материальной среде . (14.41)