Сложение колебаний одного направления одинаковых частот

Для гармонических колебаний, как и для любых механических движений справедлив принцип суперпозиции. Это означает, что если частица может совершать два каких-либо гармонических колебательных движения, то она может совершать и такое движение, которое является суммой этих двух движений – колебания можно складывать. Рассмотрим сначала сложение двух гармонических колебаний

одинакового направления (вдоль оси X) и одинаковой частоты ω. В этом случае результирующее движение частицы оказывается тоже гармоническим колебанием того же направления и той же частоты: Это непосредственно вытекает из свойства линейности дифференциального уравнения гармонического осциллятора (5.1). Действительно, если x ₁ и x ₂ являются решениями этого уравнения при данном значении ω, то и их сумма также является решением этого уравнения. А это и означает, что если x ₁ и x ₂ являются гармоническими колебаниями частоты ω, то и их сумма также будет гармоническим колебанием той же частоты и того же направления.

Для определения амплитуды А и фазы результирующего колебания воспользуемся методом векторных диаграмм. Этот ме-

Рис. 8.10

тод основан на векторном представлении гармонических колебаний и заключается в построении векторов, представляющих слагаемые и сумму колебаний, как показано на рис. 8.10. Фигура, изображенная на этом рисунке, и называется векторной диаграммой для данной задачи. Поскольку частоты колебаний одинаковы, вся изображенная на рис. 5.10 система векторов вращается как одно целое с угловой скоростью ω, причем проекция вектора А на ось X, определяющая смещение x в момент времени t равна сумме проекций x ₁ и x ₂ векторов А ₁ и А ₂. Из векторного треугольника на рис. 5.10 по теореме косинусов находим

(5.6)

где – разность фаз складываемых колебаний. Из того же треугольника найдем формулу и для фазы результирующего колебания:

Формула (5.6) показывает, что амплитуда результирующего колебания определяется не только амплитудами складываемых колебаний, но и разностью их фаз Поскольку может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то при одних разностях фаз δ складываемые колебания будут усиливать друг друга, а при других ослаблять. Если складываемые колебания находятся в одинаковой фазе (синфазные), т.е. если разность фаз δ = 0 или кратно 2 π, то амплитуда результирующего колебания будет иметь максимальное значение, равное – колебания усиливают друг друга. Если же складываемые колебания находятся в противофазе, т.е. если δ = π или любому нечетному числу π, то результирующее колебание будет иметь минимальное значение амплитуды, равное – колебания ослабляют друг друга, а при А ₁ = А ₂ полностью гасят друг друга.

Метод векторных диаграмм удобно применять и при сложении трех и более колебаний.