Гармонических колебаний

Гармонические колебания часто представляют в виде равномерно вращающегося вектора А, длина которого равна амплитуде колебаний А, а угловая скорость ω – круговой частоте коле-

Рис. 8.9

баний ω. Действительно, если построить вектор А длины А, образующий с осью X угол и привести его во вращение против часовой стрелки с угловой скоростью ω, то угол поворота этого вектора будет изменяться со временем по закону , а величина его проекция на ось X – по гармоническому закону x = A cos(ωt + ), что и смещение x при гармонических колебаниях (рис. 5.9).

Широко используется и так называемый символический способ изображения гармонических колебаний. Он основан на формуле Эйлера для комплексных чисел iA sin φ = = где А – модуль комплексного числа z т.е. – его аргумент, – реальная часть комплексного числа z (x = ), – его мнимая часть (y = звездочка обозначает комплексное сопряжение. Следовательно, функция (5.3), описывающая гармонические колебания, есть реальная часть комплексного числа z, модуль которого равен амплитуде колебаний А, а его аргумент –фазе колебаний. При этом символ Re опускают и пишут

(5.5)

или где – комплексная амплитуда колебания.

Легко убедиться, что функция (5.5) периодическая с периодом и удовлетворяет дифференциальному уравнению (5.1).