Теоремы о непрерывности суммы, произведения, частного непрерывных функций, о непрерывности сложенных функций

Теорема:

Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций – непрерывны.

Доказательство:

Докажем для произведения.

Пусть . Тогда, по теореме о пределе произведения:

.

Теорема:

Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция , состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке .

Доказательство:

Т.к. - непрерывна, то , т.е. при имеем . Поэтом (т.к. - непрерывна) имеем: .

Теорема 7.1. (о локальной ограниченности непрерывной функции)

Если f (x) непрерывна в точке a, то существует окрестность точки a, в которой f (x) ограничена.

Доказательство. Зададим какое-нибудь ε > 0, например, ε = 1. По определению непрерывности, ∃ δ > 0:  f (x) - f (a)< ε при  x - a < δ, или < f (x) < в δ-окрестности точки a. Это и означает, что f (x) ограничена в δ-окрестности точки a. Т.док.

Пусть f (x) непрерывна на промежутке X, то есть непрерывна в каждой точке этого промежутка. Тогда по теореме 7.1 f (x) ограничена в некоторой окрестности каждой точки промежутка X. Следует ли из этого, что f (x) ограничена на промежутке X? Ответ отрицательный.

Пример.

f (x) = на 0 < x < 1.

Эта функция непрерывна в каждой точке данного интервала, и вместе с тем не является ограниченной на этом интервале. Особую роль играет промежуток, являющийся сегментом.

Теорема (о сохранении знака непрерывной функции, не имеющей нулей).

Если функция f(x) непрерывна на [a; b] и для любого xє(a; b) | f(x) не равно 0, то на (a; b) f(x) сохраняет свой знак.

Доказательство. Пусть есть x1є(а; b) и x2є(а; b) | f(x1)умножыть на f(x2) < 0. Тогда, так как [x1; x2] состоит в [а; b], то f(x) непрерывна на [x1; x2] и по теореме об обращении в нуль непрерывной функции есть такое x0є[x1; x2] | f(x0) = 0, что противоречит условию.