Разностная аппроксимация задачи Дирихле для уравнения Пуассона

Рассмотрим уравнение Пуассона

(4.1)

Будем искать его решение, непрерывное в прямоугольнике

и принимающее на границе заданные значения:

(4.2)

Задача, определяемая уравнением (4.1) и условием (4.2), называется задачей Дирихле.

Введем в прямоугольную сетку

.

Чтобы написать разностную схему для задачи (4.1), (4.2), аппроксимируем каждую из производных и на трехточечном шаблоне, полагая

, .

Пользуясь этими выражениями, заменим (4.1) разностным уравнением:

(4.3)

Граничные условия (4.2) заменим разностными функциями:

(4.4)

Точки , в которых записываются уравнения (4.3), принадлежат подмножеству

, ,

которое называется множеством внутренних точек сетки .

Совокупность точек , в которых заданы разностные граничные условия (4.4), называются границей сетки . Отметим, что угловые точки , , , не участвуют в данной аппроксимации и поэтому не относятся ни к внутренним, ни к граничным точкам.

Схема (4.3), (4.4) имеет второй порядок аппроксимации по и , и представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно , состоящую из уравнений и стольких же неизвестных.