П. 2.2 Явная схема

Для построения разностной схемы введем сетку в области изменения независимых переменных. Сетку по x с шагом h обозначим , сетку по t с шагом t обозначим .

Точки образуют узлы пространственно-времен­ной сетки .

Определение 2.1 Узлы , принадлежащие отрезкам , , называются граничными узлами сетки , а остальные узлы внутренними.

Определение 2.2 Слоем называется множество всех узлов сетки , имеющих одну и ту же времен­ную координату.

Так, n-ым слоем называется множество узлов .

Так же для построения разностной схемы необходимо задать шаблон.

Определение 2.3 Шаблоном называется множество точек сетки, участвующих в ап­проксимации дифференциального уравнения.

Чтобы аппроксимировать уравнение (2.1) в точке , введем шаблон, состоящий из четырех узлов .

Производную заменим в точке разностной произ­водной . Производную второй разностной производной . Правую часть заменим приближенно сеточной функцией . В качестве можно взять одно из следующих выражений:

, , .

В результате получим разностное уравнение

(2.4)

Оно аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение в точке с первым по­рядком по h при условии, что разность имеет тот же порядок малости.

Под разностной схемой понимается совокупность разностных уравнений, аппроксими­рующих основное дифференциальное уравнение во всех внутренних узлах сетки и дополни­тельные условия (начальные и граничные) - в граничных узлах сетки.

Для уравнения теплопроводности (2.1), удовлетворяющего начальным условиям (2.2) и граничным условиям (2.3), разностная схема будет иметь вид:

(2.5)

(2.6)

(2.7)

Эта схема представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с числом уравнений, равных числу неизвестных. Находить решение такой системы следует по слоям.

Решение на нулевом слое задано начальными условиями (2.7). Если решение на слое n уже найдено, то решение на слое n +1 находиться по явной формуле

(2.8)

а значения доопределяются из граничных условий. Поэтому схема (2.5)-(2.7) называется явной схемой.

Погрешность аппроксимации . Разностная схема устойчива при

, (2.9)

т.е. схему (2.5)-(2.7) можно применять только при условии (2.9).