Разностные схемы для уравнения теплопроводности

Глава 4. Разностные методы решения задач математической физики

Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, сходимость, устойчивость.

Пусть задана исходная дифференциальная задача

(1.1)

где , G – область m -мерного пространства;

f(x) - заданная функция;

L - линейный дифференциальный оператор.

Предполагается, что дополнительные условия (типа начальных и граничных) учтены оператором L и правой частью f.

В качестве простейшего примера задачи (1.1) можно рассмотреть первую краевую задачу:

В общем случае уравнение (1.1) может быть многомерным, существенным является требование линейности оператора L.

Для построения разностной схемы прежде всего вводится сетка .

Определение 1.1 Сеткой , вводимой на области G называется конечное множество точек, принадлежащих области G, плотность распределения которых характеризуется параметром h – шагом сетки.

В общем случае h – вектор, причем определена величина - длина вектора h. Обычно сетка выбирается так, что при множество стремится заполнить всю область G.

Определение 1.2 Функция, определенная в точках сетки называется сеточной функцией.

После введения сетки , в уравнении (1.1) дифференциальный оператор L следует заменить разностным оператором , правую часть f(x) – сеточной функцией . В ре­зультате получим систему разностных уравнений

(1.2)

Эта система называется разностной схемой или разностным задачей. Решение разностной задачи будем обозначать y.

Пусть решение u (x) задачи (1.1) принадлежит линейному нормированному пространству , норма в . Пусть сеточные функции являются элементами линейного нормированного пространства (пространство сеточных функций) с нормой . По существу, имеем семейство линейных нормированных пространств, зависящих от параметра h.

Для сравнения функций из разных пространств введем оператор, сопоставляющий каждой функции из некоторую функцию из . Для функции будем обозначать через ее проекцию на пространство , т. е. .

Потребуем, чтобы нормы в были согласованны с нормой в исходном пространстве , т. е. чтобы для выполнялось условие

(1.3)

Требование согласования норм обеспечивает единственность предела сеточных функций при . Действительно, если для имеем

, , то согласно (1.3)

и

, т.е. u = v.

Пусть - решение исходной задачи (1.1), - решение разностной задачи (1.2).

Определение 1.3 Сеточная функция называется по­грешностью разностной схемы (1.2).

Подставим в уравнение (1.2). Тогда получим, что погрешность удовлетворяет уравнению

, (1.4)

где

(1.5)

Определение 1.4 Сеточная функция , определенная формулой (1.5), называ­ется погрешностью аппроксимации разностной задачи (1.2) на решении исходной диффе­ренциальной задачи (1.1).

Преобразуем выражение (1.1). Проецируя уравнение (1.1) на сетку , получим

или, учитывая принятые обозначения

(1.6)

Из (1.5) и (1.6) получаем

,

т.е. ,

где

, (1.7)

Определение 1.5 Функции и называются, соответственно, по­грешностью аппроксимации дифференциального оператора L разностным оператором и погрешностью аппроксимации правой части.

Определение 1.6 Говорят, что разностная задача (1.2) аппроксимирует исходную задачу (1.1), если при . Разностная схема имеет k -ый порядок аппроксимации, если существуют постоянные , , независящие от h и такие, что

Аналогично определяются погрешность аппроксимации и порядок погрешности ап­проксимации правых частей и дифференциального оператора.

Введем понятие корректности разностной задачи:

Определение 1.7 Разностная схема (1.2) называется корректной, если

1) ее решение существует и единственно при любых правых частях ;

2) существует постоянная , не зависящая от h и такая, что при любых справедлива оценка

(1.8)

Свойство 2), означающее непрерывную зависимость, равномерную относительно h, ре­шения разностной задачи от правой части, называется устойчивостью разностной схемы.

Сформулируем понятие сходимости

Определение 1.8 Решение разностной задачи (1.2) сходится к решению дифферен­циальной задачи (1.1), если при . Разностная схема имеет k -ый порядок точности, если существуют постоянные , , независящие от h и такие, что .

Справедлива следующая теорема о связи устойчивости и сходимости:

Теорема 1.1 Пусть дифференциальная задача (1.1) поставлена корректно, разностная схема (1.2) является корректной и аппроксимирует исходную задачу (1.1). Тогда решение разностной задачи (1.2) сходится к решению исходной задачи (1.1), причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.

Разностные схемы для уравнения теплопроводности