П. 2.3 Неявные схемы

Для построения чисто неявной схемы для уравнения теплопроводности (схемы с опережением) зададим шаблон, состоящий из четырех узлов:

.

Разностная схема, использующая этот шаблон имеет вид:

(2.10)

Здесь .

Схема имеет первый порядок аппроксимации по t и второй по h. Решение системы (2.10) находится по слоям начиная с n = 1. Для нахождения по известным требуется решить систему уравнений:

, (2.11)

где .

Эту систему можно решать методом прогонки. Схема (2.10) абсолютно устойчива.

Для построения шеститочечной симметричной схемы
используется шаблон, состоящий из шести узлов
.

Разностная схема, использующая этот шаблон имеет вид:

(2.12)

Если , то схема (2.12) имеет второй порядок аппроксимации как по h, так и по t. Она абсолютно устойчива, и ее можно решать методом прогонки.

Обобщением трех рассмотренных схем является однопараметрическое семейство схем с весами. Зададим произвольный действительный параметр s и определим разностную схему:

(2.13)

При получим явную схему, - чисто неявную схему, - симметричную схему.

Исследуем погрешность аппроксимации схемы (2.13) на решении исходной задачи (2.1)-(2.3). Представим решение задачи (2.13) в виде , где - точное решение дифференциальной задачи (2.1)-(2.3). Тогда для погрешности получим систему уравнений:

(2.14)

Входящая в правую часть уравнения (2.14) сеточная функция

называется погрешность аппроксимации схемы (2.13) на решении задачи (2.1)-(2.3).

Разложим все функции, входящие в выражение для , по формуле Тейлора в точке . Учитывая разложения

, ,

где , , ,

получим

.

Отсюда проводя разложения в точке и обозначая , будем иметь

,

и, перегруппировывая слагаемые, получим, что

.

Учитывая уравнение (2.1) и следствие из него , окончательно можем записать, что

(2.15)

Из формулы (2.15) можно сделать следующие выводы.

Если , , то схема (2.13) имеет второй порядок аппроксимации по t и четвертыйпо h. Такая схема называется схемой повышенного порядка аппроксимации.

Если , , то схема (2.13) имеет второй порядок аппроксимации по t и по h.

При остальных значениях s и при схема (2.13) имеет первый порядок аппроксимации по t и второй по h.

Все схемы вида (2.13) с абсолютно устойчивы. При разностная схема (2.13) является неявной схемой. Для нахождения решения требуется решать систему уравнений

(2.16)

где .

Система (2.16) решается методом прогонки. Условия устойчивости прогонки при сводятся к неравенству

и выполнены при .