Формула Тейлора для произвольной функции

Рассмотрим функцию у=ƒ(х). Формула Тейлора позволяет, при определенных условиях, приближенно представить функцию ƒ(х) в виде многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.

Теорема 26.1. Если функция ƒ(х) определена в некоторой окрестности точки х₀ и имеет в ней производные до (n+1)-го порядка включительно, то для любого х из этой окрестности найдется точка сє(х₀;х) такая, что справедлива формула

Формула (26.3) называется формулой Тейлора для функции ƒ(х). Эту формулу можно записать в виде ƒ(х)=Р_n(х)+R_n(x), где

называется многочленом Тейлора, а

называется остаточным членом формулы Тейлора, записанным в форме Лагранжа. R_n(х) есть погрешность приближенного равенства ƒ(х)≈Р_n(х). Таким образом, формула Тейлора дает возможность заменить функцию у=ƒ(х) многочленом у=Р_n(х) с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена R_n(x).

При х₀=0 получаем частный случай формулы Тейлора — формулу Маклорена:

где с находится между 0 и х (с=θx, 0<θ<1).

При n=0 формула Тейлора (26.3) имеет вид ƒ(х)=ƒ(х₀)+ƒ'(с)(х-х₀) или ƒ(х)-ƒ(х₀)=ƒ'(с)(х-x₀), т. е. совпадает с формулой Лагранжа конечных приращений. Рассмотренная ранее формула для приближенных вычислений ƒ(х)≈ƒ(х₀)+ƒ'(х₀)(х-х₀) (см. «дифференциал функции») является частным случаем более точной формулы

<< Пример 26.2

Найти число е с точностью до 0,001.

Решение: Запишем формулу Маклорена для функции ƒ(х)=е^х. Находим производные этой функции: ƒ'(х)=е^х, ƒ"(х)=е^х,..., ƒ⁽ⁿ⁺¹⁾(х)=е^х. Так как ƒ(0)=е⁰=, ƒ'(0)=е⁰=1,..., ƒ⁽ⁿ⁾(0)=1, ƒ⁽ⁿ⁺¹⁾(с)=е^с, то по формуле (26.4) имеем:

Положим х=1:

Для нахождения е с точностью 0,001 определим n из условия, что остаточный член

меньше 0,001. Так как 0<с<1, то е^с<3.

Поэтому при n=6 имеем

Итак, получаем приближенное равенство

т.е.е≈2,718.

Приведем разложения по формуле Маклорена некоторых других элементарных функций: