Методы экспериментальной обработки данных. Метод наименьших квадратов

Пусть в результате измерений в процессе опыта получена таблица (1)

x	x1	x2	…	xn
y	y1	y2	…	yn

Нужно найти формулу, выражающую эту зависимость аналитически. Можно построить интерполяционные многочлены Лагранжа или Ньютона, значения которых в узловых точках будут совпадать с соответствующими значениями функциями из таблицы. Однако совпадение значений в узлах может вовсе не означать совпадение характеров исходной интерполирующей функции. Требование неукоснительного совпадения значений в узлах выглядит тем более неоправданным, если табличные значения функции получены в результате измерений и являются сомнительными.

Поставим задачу так, чтобы с самого начала обязательно учитывался характер исходной функции, т.е. необходимо найти функцию y=F(x) заданного вида, которая в узловых точках принимает значения как можно более близкие к табличным.

Вид приближающей функции можно определить графически.

Таких кривых может быть достаточно много. Наша задача - выбрать самый оптимальный вариант.

Рассмотрим один из распространенных методов нахождения приближающей функции.

Предположим, что приближающая функция в узловых точках принимает следующие значения:

x	x1	x2	…	xn
y	y1	y2	…	yn
F			…

Требование близости y₁,…,y_nк полученным
,… можно истолковать следующим образом.

Рассмотрим две точки в n-мерном пространстве:

Найдем такие параметры F(x), при которых расстояние между M и будет минимальным. Запишем это расстояние след.образом:

И потребуем, чтобы подкоренное выражение было минимальным.

Задача построения приближения функции fтеперь формулируется так: для функции f, заданной таблицей (1), найти функцию F определенного вида так, чтобы сумма квадратов разностей соответствующих координат была наименьшей.

Эта задача носит название приближение функции методом наименьших квадратов.

В экспериментальной практике в качестве приближающих функций в зависимости от характера точечного графика f часто используются следующие приближающие функции:

Очевидно, что когда вид приближающей функции установлен, задача сводится только к отысканию значений параметров.

Рассмотрим метод нахождения приближающей функции в общем виде на примере функции с тремя параметрами: y=F(a,b,c,x). Задача состоит в том, чтобы найти a,b,c. В каждой точке x_if(x_i,a,b,c)= .

Сумма квадратов разности соответствующих значений fиF будет иметь вид:

(4)

Эта сумма является функцией Ф (а,b,c) трех переменных (параметров a,b и c). Задача сводится к отысканию ее минимума. Используем необходимое условие экстремума:

Получаем систему для определения неизвестных параметров a, b, c.

(5)

Решив эту систему трех уравнений с тремя неизвестными относительно параметров a, b, c, мы и получим конкретный вид искомой функции F(x, a, b, c). Как видно из рассмотренного примера, изменение количества параметров не приведет к искажению сущности самого подхода, а выразится лишь в изменении количества уравнений в системе (5).

Естественно ожидать, что значения найденной функции F(x, a, b, c) в точках х₁, x₂,..., x_n, будут отличаться от табличных значений y₁, y₂,..., y_n. Значения разностей

y_i-F(x_i,a,b,c)=ε_i называются отклонениями.

Сумму квадратов отклонений находится по формуле , которая в соответствии с методом наименьших квадратов для заданного вида приближающей функции (и найденных значений параметров) должна быть наименьшей. Из двух разных приближений одной и той же табличной функции, следуя методу наименьших квадратов, лучшим нужно считать то, для которого сумма (4) имеет наименьшее значение.