![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Доказано, что достаточным условием сходимости итерационной последовательности к корню уравнения является выполнение следующего соотношения:
. Рассмотрим 2 случая: 1)
возрастает; 2)
убывает.
1) Пусть .
На оси абсцисс произвольно выберем точку и проведем прямую, параллельно OY до пересечения с графиком
. Через т. пересечения проведем прямую, параллельно оси OX до пересечения с
.
. Проведем через
прямую, параллельно оси OY до пересечения с
. Через точку пересечения параллельно оси OX – до пересечения с
. Проекция этой точку на ось OX есть
;
;
. И т.д. Продолжая алгоритм, получим ломаную, звенья которой попеременно параллельны то оси OX, то OY. Если
выбрано левее точки пересечения графиков, то приходится подниматься по «лестнице» вверх, в противном случае опускаться вниз.
2) Пусть .
Функция убывает, но не очень быстро, т.к.
. Воспользуемся тем же алгоритмом, что и в п. 1. В случае отрицательной производной ломаная, построенная по алгоритму 1 представляет собой спираль, кот. Закручивается по мере приближения к т. пересечения графиков.
Оценка погрешности в случае убываний функции.
Рассматривая чертеж, убеждаемся, что в случае убываний функции корень уравнения всегда находится между 2-мя соседними приближениями. Теорема 4: если для ф-и выполнены условия по крайней мере одной из т-м 1, 2, 3, причем
, то корень уравнения
всегда заключен между любыми 2-мя сосед-ми членами итераций послед. Эта теорема дает простейшее правило оценки погрешности k-го приближения:
. Если необходимо вычислить корень уравнения
с точностью
, то вычисление следует прекратить, как только
. Тогда
.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 206 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!