Принцип сжатых отображений. Теоремы о достаточных условиях сходимости итерационной последовательности

Если на множестве Xзадан оператор, то это записывается y=Ax, где А – символ оператора.

Если существует положительно число 0<α<1, такое что для любых двух точек х и у пространства имеет место соотношение ρ(Ах,Ау)≤αρ(x,y), т.е. расстояние между образами≤расстоянию между прообразами, то оператор А называется оператором сжатия, а число α – коэффициентом сжатия.

Теорема о неподвижной точке – принцип сжатых отображений.

Если оператор сжатия А переводит точки n-мерного метрического пространства в точки того же пространства, то существует точка х* - неподвижная точка оператора, притом единственная. Итерационная последовательность, построенная для данного оператора с любым начальным приближением , сходится к х*.

Теорема 1 (1-е достаточное условие): если функция определена и дифференцируема на множестве , причем существует такое, что , то уравнение имеет решение, притом единственное. Это решение может быть получено методом последовательных приближений, причем за начальное приближение можно взять любое число .

Доказательство: Функцию можно рассмотреть, как оператор, определенный в пространстве с образом из того же пространства. Покажем, что является оператором сжатия. Возьмем 2 произвольные точки этого пространства и воспользуемся теоремой Лагранжа о конечных приращениях: Т.к. , то . Т.о. при условии , является оператором сжатия. В силу теоремы о сжатых отображениях оператор имеет неподвижную точку , т.е. . Эта точка единственна. Последнее равенство означает, что уравнение имеет единственное решение, которое может быть получено, как предел итерационной последовательности.

Теорема 2 (2-е достаточное условие): Если определена и дифференцируема на [a;b], все ее значения также , существует такое, что , то итерационная последовательность этой функции с любым начальным приближением сходится и ее предел есть решение уравнения . Это уравнение на единственно.

Доказательство: Отрезок - замкнутое подмножество множества . (, ). Если в этом подмножестве ввести метрику так же, как и во множестве , то отрезок можно рассматривать, как метрическое пространство. Дальнейший ход рассуждений такой же, как и в теореме 1.