![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Если на множестве Xзадан оператор, то это записывается y=Ax, где А – символ оператора.
Если существует положительно число 0<α<1, такое что для любых двух точек х и у пространства имеет место соотношение ρ(Ах,Ау)≤αρ(x,y), т.е. расстояние между образами≤расстоянию между прообразами, то оператор А называется оператором сжатия, а число α – коэффициентом сжатия.
Теорема о неподвижной точке – принцип сжатых отображений.
Если оператор сжатия А переводит точки n-мерного метрического пространства в точки того же пространства, то существует точка х* - неподвижная точка оператора, притом единственная. Итерационная последовательность, построенная для данного оператора с любым начальным приближением , сходится к х*.
Теорема 1 (1-е достаточное условие): если функция определена и дифференцируема на множестве
, причем существует
такое, что
, то уравнение
имеет решение, притом единственное. Это решение может быть получено методом последовательных приближений, причем за начальное приближение можно взять любое число
.
Доказательство: Функцию можно рассмотреть, как оператор, определенный в пространстве
с образом из того же пространства. Покажем, что
является оператором сжатия. Возьмем 2 произвольные точки этого пространства и воспользуемся теоремой Лагранжа о конечных приращениях:
Т.к.
, то
. Т.о.
при условии
,
является оператором сжатия. В силу теоремы о сжатых отображениях оператор
имеет неподвижную точку
, т.е.
. Эта точка единственна. Последнее равенство означает, что уравнение
имеет единственное решение, которое может быть получено, как предел итерационной последовательности.
Теорема 2 (2-е достаточное условие): Если определена и дифференцируема на [a;b], все ее значения
также
, существует
такое, что
, то итерационная последовательность этой функции с любым начальным приближением
сходится и ее предел есть решение уравнения
. Это уравнение на
единственно.
Доказательство: Отрезок - замкнутое подмножество множества
. (
,
). Если в этом подмножестве ввести метрику так же, как и во множестве
, то отрезок можно рассматривать, как метрическое пространство. Дальнейший ход рассуждений такой же, как и в теореме 1.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 505 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!