Постановка задачи численного интегрирования. Формула трапеций

При решении многих задачвозникает необходимость вычисления определенных интегралов. Пусть требуется вычислить интеграл. Если для подынтегральной функции f(x) найдена первообразная F(x), то интеграл можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница: .

Однако, часто не бывает возможности использовать эту формулу, например, в следующих случаях:

1) Если первообразная функция F(x) не выражается в конечном виде через элементарные функции, так называемые не берущиеся интегралы:

2) Если первообразная функция F(x) имеет настолько сложную аналитическую запись, что ее использование не целесообразно.

3) Если подынтегральная функция f(x) задана графически или таблично.

Во всех этих случаях возникает необходимость разработки методов, позволяющих вычислять определенные интегралы приближенно. Эти формулы для вычисления приближенных интегралов называются квадратными.

Формулы трапеций

Пусть требуется вычислить интеграл . Обозначим . Произведем замену подынтегральной функции f(x) по формуле линейного интерполирования: .

В этом случае, . При этом получим: .

, тогда при , t=0; x= , t=1, тогда

.

Полученная формула называется формулой трапеции.

Геометрический смысл формулы трапеции заключается в том, что на промежутке [a;b], криволинейная трапеция заменяется прямолинейной трапецией вследствие замены подынтегральной функции отрезком прямой по формуле линейного интерполирования.

Для более точного вычисления определенного интеграла разбивают отрезок [a;b] на n - равных частей точками и применяют формулу трапеции на каждом из частичных отрезков, то есть интеграл

Суммируя левые и правые части приближенных равенств, получаем:

- обобщенная формула трапеции.

Абсолютная погрешность формулы трапеций оценивается следующим образом: , где –максимум модуля второй производной от подынтегральной функции на [a,b].