 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Точки перегиба. Асимптоты
|
|
Кривая называется выпуклой в точке х=х 0, если в некоторой окрестности этой точки кивая расположена под касательной, проведенной в этой точке (рис.6а), если же кривая лежит над касательной, то функция называется вогнутой (рис.6б).
В качестве достаточных условий выпуклости, вогнутости графика функций можно принять следующие: если y" >0, то кривая вогнутая, если y" <0, то кривая выпуклая.
Точкой перегиба называется точка, разделяющая интервал выпуклости от интервала вогнутости. Необходимым условием существования точки перегиба является равенство нулю второй производной от функции, достаточным – изменение знака второй производной при переходе через точку, подозрительную на точку перегиба.
Пусть имеется кривая, ветвь которой в том или ином направлении удаляется в бесконечность. Если расстояние от точки кривой до некоторой прямой по мере удаления точки кривой в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой графика кривой.
Существует три вида асимптот: вертикальная, горизонтальная, наклонная.
Пусть y=f(x), а – точка разрыва функции или граничная точка области определения.
Если 
, то прямая х=а есть вертикальная асимптота.
Если 
, то прямая х=b – горизонтальная асимптота.
Наклонная асимптота имеет вид у=kx+b, где 
; 
.
Замечание. Пределы при х ®∞, х ®-∞ находятся отдельно.
Алгоритм полного исследования функции y=f(x)
1. Найти область определения функции; точки разрыва.
2. Найти асимптоты графика функции.
3. Определить четность, нечетность, периодичность функции.
4. Установить промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.
5. Определить интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции.
6. Найти точки пересечения графика с осями координат.
7. При необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках.
___________________
4.7.1. Найти промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба:
а) у=х 5-5 х -6; б) у=(х- 5 ) 5/3+2;
в) у=хе х; г) у=х 4-8 х 3+24 х 2.
4.7.2. Найти асимптоты графика функций:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) y=-xarctgx.
4.7.3. Исследовать функции и построить их графики:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
4.7.4. Найти промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба:
а) 
; б) 
;
в) y=ln|x|; г) 
.
4.7.8. Найти асимптоты графиков функций:
а) 
; б) y=x-arctgx;
в) 
.
4.7.9. Исследовать функции и построить графики:
а) 
; б) 
.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 1428 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
