Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Функция f(x) называется возрастающей в точке х0, если в некоторой e - окрестности этой точки f(x0-h)<f(x0)<f(x0+h)

Функция f(x) называется возрастающей в точке х ₀, если в некоторой e - окрестности этой точки f(x ₀ -h)<f(x₀)<f(x ₀ +h).

Убывающей – если f(x ₀ +h)<f(x₀)<f(x ₀ -h), где 0< h <e.

Функция f(x) называется возрастающей на отрезке [a,b], если для любых х ₁ и х ₂ этого отрезка из неравенства х ₁> х ₂ следует неравенство f(х ₁ ) > f(х ₂ ). Если же из неравенства х ₁> х ₂ следует, что f(х ₁ ) < f(х ₂ ), то функция f(x) – убывающая на отрезке [a,b].

Можно сформулировать достаточные признаки возрастания и убывания функции y=f(x)

Если y' >0 для всех х Î[a,b], то функция возрастает на [a,b]; при y' <0 для х Î[a,b], то функция на [a,b] убывает.

Функция f(x) может иметь экстремум лишь в тех точках, в которых f'(x) =0 или не существует. Такие точки называются критическими, или стационарными, или подозрительными на экстремум. Равенство нулю первой производной данной функции является необходимым условием существования экстремума.

В качестве достаточного условия существования экстремума в критической точке х ₀ можно принять смену знака первой производной при переходе через критическую точку, при этом, если знак меняется с + на -, то в точке х ₀ – максимум, если с – на +, то в точке х ₀ – минимум.

Если производная y ' знак не меняет при переходе через точку, подозрительную на экстремум, то экстремума в этой точке нет.

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функций у=f(x) на отрезке [a,b] необходимо найти критические точки, принадлежащие [a,b]. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка. Из всех найденных значений выбираем наибольшее и наименьшее.

__________________

4.6.1. Найти интервалы монотонности следующих функций:

а) у= 2-3 х + х ³; б) у=хе ^-х;

в) у=(х -2 ) ² (х+ 2 ); г) y=ln(x ²-2 x +4).

4.6.2. Найти экстремумы функций:

а) ; б) y=ln(x ²+1 );

в) ; г) у=(х- 1 ) ^6/7.

4.6.3. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданном отрезке:

а) у=х ⁴+2 х ²+5, х Î[-2,2]; б) , х Î[-6,8];

в) , х Î[0,4]; г) y =2 tgx-tg ² x, х Î[0,π/2].

_______________

4.6.4. Найти интервалы монотонности следующих функций:

а) у=( 2 -х)(х+ 1 ) ²; б) у=х ³-6 х +5;

в) у=х+е ^-х; г) y=xlnx.

4.6.5. Найти экстремумы функций:

а) ; б) .

4.6.6. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке:

а) , х Î[0,4]; б) , х Î[0,1];

в) , х Î[0,1].