Метод синтеза ПИД-регулятора из условия обеспечения системой запаса по фазе и желаемого времени регулирования

Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы при частоте ω₁ проходит через точку e^{j (-180 + φ} m ⁾, где φ _m есть запас по фазе:

W _p(j ω₁) W _oб(j ω₁) = e^{j (-180 + φ} m ⁾. (2.29)

Если аргумент функции W _p(j ω₁) обозначить через Θ, то

Θ = -180^° + φ _m - arg W _об(j ω₁). (2.30)

По модулю на частоте ω₁ имеем соотношение

| W _p(j ω₁)| = | W _oб(j ω₁)|^-1. (2.31)

С учетом выбранного закона регулирования перепишем (2.29) в виде

. (2.32)

С учетом желаемого времени регулирования t _p можно определить приближенно (точно для систем второго порядка) частоту ω₁ на основании

ω₁ ≈ 8/(t _ptgφ _m). (2.33)

Из уравнения (2.32) составим два уравнения:

; (2.34)

. (2.35)

Для хорошо демпфированных систем запас по фазе составляет 30-60^°. Задаваясь значением φ _m, например φ _m = 45°, находим из уравнения (2.33) ω₁ и из уравнения (2.34) коэффициент пропорциональности. На основании уравнения (2.35) находим соотношение для коэффициентов k _д, k _и. В этом случае можно задаться одним из коэффициентов, например, k _и. Если неудачно выбрать число k _и, например выбрать несколько увеличенное значение, то в систему вносится большее отставание по фазе. Это приводит к большему перерегулированию и более длительному переходному процессу. Поэтому можно снова задаться соотношением k _д k _и = (0,1-0,15). Если система позволяет ограничиться ПИ- или ПД-регуляторами, то тогда уравнения (2.34) и (2.35) позволяют найти однозначные значения параметров настройки регулятора.