Расчет параметров настройки регулятора на основании критерия максимальной степени устойчивости

Пусть объект управления описывается передаточной функцией вида

, T₂ > 10 T ₁, T ₂ / T ₁ = q. (2.21)

Передаточной функцией такого вида можно аппроксимировать динамические характеристики многих промышленных процессов.

Используем наиболее полный типовой ПИД-регулятор для синтеза систем управления.

Оптимизируемыми являются параметры k _пр, k _и, k _д, при которых имеет место максимальная степень устойчивости

I = - min max Re (λ_i), (2.22)

где λ _i - корни характеристического полинома

(2.23)

который при замене λ на λ₁ - I принимает вид

(2.24)

В результате исследований Шубладзе, Черепова было установлено, что структура корней оптимального по степени устойчивости (2.22) зависит только от q и n. При этом для любого значения q существуют такие n_qi (i = 1,…,4), что при n < n_qi крайними правыми корнями (2.23) оптимального решения являются четыре кратных действительных корня, при n_{q 1} < n < n_{q 2} - три кратных действительных корня и комплексно-сопряженная пара корней, при n_{q 2} < n < n_{q 3} - два кратных действительных корня и комлексно-сопряженная пара корней.

Рассмотрим первый случай, когда n_q = 4, n_k = 0, n < n ^*, где n *- предельное значение n, для которого нарушается структура корней.

При обратной замене λ _i на λ + I можно переписать характеристический полином

(2.25)

в котором D_{n -3}(l + I) имеет корни левее прямой λ = - I. Из (2.25) следует, что третья производная D_{n +1}(l) не зависит от параметров регулятора, поэтому крайний правый корень также не зависит от этих параметров. Значение этого корня и определяет степень устойчивости

maxRe λ _i = - I, i =1,…, n - 2, (2.26)

где λ _i - корни полинома

. (2.27)

При известном значении I, уменьшая порядок дифференцирования, можно найти параметры настройки регулятора. Формулы для расчета I, k _пр, k _и, k _д имеют вид:

при n = 2;

, при n > 2;

;

;

; (2.28)