Непрерывность функции одной переменной. Свойства непрерывных функций. Понятие точек разрыва и их классификация

Пусть f:E® R, a -точка области определения.

Определение (непрерывность функции в точке). Функция
f(x) называется непрерывной в точке a, если

" U (f (a)) $ U (a) (f (U (a))Ì U (f (a))).

Определение (непрерывность функции по Коши). Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если " e > 0 $ d(e)>0: " x удовлетворяющих условию |x-a|< d, выполнено неравенство
|f(x)-f(a)|< e

Замечание. Если a – изолированная точка множества E, то есть точка, что в некоторой окрестности этой точки нет других точек множества E, кроме точки a, то U(a) = a. Следовательно, f(U(a)) = f(a)Ì U(f(a)), " U(f(a)). Таким образом, в любой изолированной точке функция непрерывна. Поэтому содержательная часть понятия непрерывности относится к случаю, когда a- предельная точка множества E.

Из определения непрерывной функции следует, что

f:E ® R непрерывна в a Î E, где a- предельная точка E Û
Û lim _{x ® a}f (x) = f (a)

Последнее равенство можно переписать в следующей форме

lim _{x ® a}f (x) = f (lim _{x ® a}x),

которое говорит о том, что непрерывные в точке функции перестановочны с операцией предельного перехода.

Приведем еще одно определение непрерывной функции.

Определение (непрерывность "на языке приращений").
Функция называется непрерывной в точке a, если выполнено условие

lim_{D x ® 0}D y = 0,

где D y = f(a+D x)-f(a).