Обратные матрицы. Методы нахождения обратной матрицы

Рассмотрим матрицу . Квадратная матрица () называется левой (правой) обратной матрице , если выполняется отношение BA=E (AC=E). Обратная матрица существует не всегда. Если существует левая и правая обратная матрицы, то они совпадают и такая матрица называется обратной матрицей (обозначается ).

(BA)C=EC=C Þ B(AC)=C Þ BE=C Þ B=C

Методы нахождения обратной матрицы:

1. метод, основанный на использовании элементарных преобразований над строками матрицы:

1) перемена местами двух строк;

2) умножение строки на отличное от нуля число;

3) прибавление к одной строке другой строки, умноженной на некоторое число.

Справа к исходной матрице дописываем единичную матрицу: (A | E) и приводим матрицу А при помощи элементарных преобразований над строками к единичной матрице, выполняя те же операции над матрицей Е. В итоге, когда слева получим единичную матрицу, справа будем иметь обратную матрицу: (E | ). Если А невозможно привести к виду единичной матрицы, то она не имеет обратной матрицы.

2. вычисление обратной матрицы с помощью определителя

Теорема: квадратная матрица имеет обратную Û когда она не вырождена (ее определитель | A |¹0). Тогда обратную матрицу можно вычислить по формуле: , где

- союзная матрице ,

- алгебраическое дополнение к элементу .