![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть дано уравнение вида
, (23.1)
в левой части которого имеем функцию двух переменных, заданную в какой-нибудь области на плоскости, например, в прямоугольнике . Если для каждого значения
существует одно значение
, которое вместе с х удовлетворяет уравнению (23.1), то уравнение (23.1) определяет на отрезке
функцию
. В этом случае говорят, что уравнение (23.1) определяет неявную функцию
на отрезке
. Заметим, что термин «неявная» функция относится только к способу ее задания. Например, функция
задана явно, а эта же самая функция, определяемая уравнением
, задана неявно.
Из определения неявной функции следует, что если ее подставить в уравнение (23.1), то получится тождество относительно х на :
.
Понятие неявной функции распространяется на случай функции от любого числа переменных.
Пусть функция -й переменной определена на некотором множестве точек пространства
и пусть на некотором множестве
существует функция
, при подстановке которой вместо у в уравнение
(23.2)
получается на Е тождество:
. Тогда говорят, что функция
задана неявно на множестве Е уравнением (23.2).
Например, уравнение определяет неявную функцию
на всей плоскости, так как если вместо z подставить эту функцию в уравнение, то получится тождество
.
При вычислении производной неявной функции, определяемой уравнением , будем рассуждать так. Подставив неявную функцию
в это уравнение, получим тождество
. Дифференцируя это тождество по х и считая у функцией от х, получим по правилу дифференцирования сложной функции:
, отсюда находим
.
Пример 1. Найдем 2-ю производную неявной функции, определяемой уравнением .
Решение. Сначала найдем , дифференцируя данное уравнение по х и считая у функцией от х:
. Чтобы найти
, продифференцируем
, считая у функцией от х:
= |подставим вместо найденное выше выражение| =
=
.
Аналогичные рассуждения проводятся и при вычислении частных производных неявной функции нескольких переменных. Например, если уравнение определяет неявную функцию
, то имеем тождество
, дифференцируя которое по х и по у, получим:
откуда находим
и
. Если нужно найти производные 2-го порядка, то полученные тождества дифференцируем еще раз и т.д.
Пример 2. Найдем производные 2-го порядка от неявной функции, определяемой уравнением .
Решение. Имеем
.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 378 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!