Неявные функции, их дифференцирование

Пусть дано уравнение вида

, (23.1)

в левой части которого имеем функцию двух переменных, заданную в какой-нибудь области на плоскости, например, в прямоугольнике . Если для каждого значения существует одно значение , которое вместе с х удовлетворяет уравнению (23.1), то уравнение (23.1) определяет на отрезке функцию . В этом случае говорят, что уравнение (23.1) определяет неявную функцию на отрезке . Заметим, что термин «неявная» функция относится только к способу ее задания. Например, функция задана явно, а эта же самая функция, определяемая уравнением , задана неявно.

Из определения неявной функции следует, что если ее подставить в уравнение (23.1), то получится тождество относительно х на : .

Понятие неявной функции распространяется на случай функции от любого числа переменных.

Пусть функция -й переменной определена на некотором множестве точек пространства и пусть на некотором множестве существует функция , при подстановке которой вместо у в уравнение

(23.2)

получается на Е тождество: . Тогда говорят, что функция задана неявно на множестве Е уравнением (23.2).

Например, уравнение определяет неявную функцию на всей плоскости, так как если вместо z подставить эту функцию в уравнение, то получится тождество .

При вычислении производной неявной функции, определяемой уравнением , будем рассуждать так. Подставив неявную функцию в это уравнение, получим тождество . Дифференцируя это тождество по х и считая у функцией от х, получим по правилу дифференцирования сложной функции: , отсюда находим .

Пример 1. Найдем 2-ю производную неявной функции, определяемой уравнением .

Решение. Сначала найдем , дифференцируя данное уравнение по х и считая у функцией от х: . Чтобы найти , продифференцируем , считая у функцией от х:

= |подставим вместо найденное выше выражение| =

=

.

Аналогичные рассуждения проводятся и при вычислении частных производных неявной функции нескольких переменных. Например, если уравнение определяет неявную функцию , то имеем тождество , дифференцируя которое по х и по у, получим:

откуда находим и . Если нужно найти производные 2-го порядка, то полученные тождества дифференцируем еще раз и т.д.

Пример 2. Найдем производные 2-го порядка от неявной функции, определяемой уравнением .

Решение. Имеем

.