Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области

Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если функция имеет в точке конечные частные производные и эта точка является точкой экстремума, то обе частные производные в точке равны нулю.

Доказательство. Пусть функция в точке имеет максимум. Зафиксируем значение , тогда функция будет функцией одной переменной х, для которой в некоторой окрестности точки выполняется неравенство , т.е. − точка максимума функции одной переменной . Тогда должно быть .

Аналогично показывается, что .

Теорема доказана.

Аналогичная теорема справедлива и для функции большего числа переменных.

Таким образом, экстремум может быть только в тех точках, в которых частные производные равны нулю или не существуют, т.е. в критических точках. Но не всякая критическая точка является точкой экстремума. Установим достаточные условия существования экстремума для функции двух переменных.

Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Если функция в некоторой окрестности точки имеет частные производные до второго порядка включительно, причем , , а вторые частные производные непрерывны в точке , то функция в этой точке:

1) при имеет максимум, если и минимум, если ;

2) при не имеет экстремума.

Без доказательства.

Таким образом, для отыскания точек экстремума функции двух переменных нужно вычислить ее частные производные, из системы уравнений найти стационарные точки, вычислить значения вторых производных в этих точках и проверить знак . Если , то при в стационарной точке – минимум функции, при − максимум. Если , то стационарная точка не является точкой экстремума. Если , то исследовать стационарную точку на экстремум нужно с помощью производных высших порядков.

Пример 1. Исследуем на экстремум функцию .

Решение. Имеем , , т.е. стационарная точка одна: . Поскольку , то – точка экстремума функции, причем в этой точке функция имеет максимум, так как , .

Пусть теперь функция определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D. Тогда по теореме Вейерштрасса она принимает в какой-то точке области наибольшее значение и в точке – наименьшее значение. Если или (или обе точки) – внутренние, то они являются точками экстремума функции. Кроме того, наибольшее (наименьшее) значение функция может принимать и на границе области D.

Таким образом, нужно найти значения функции в критических точках и сравнить их со значениями функции на границе D. Наибольшее (наименьшее) из полученных значений и будет наибольшим (наименьшим) значением функции в замкнутой области D.

Пример 2. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике , ограниченном сторонами .

критические точки функции. Имеем , . Частные производные существуют в каждой точке, поэтому достаточно найти стационарные точки функции,

3 А

Решение. Для наглядности рассуждений построим данный треугольник. Найдем

у

(D) В О 3

х

т.е. решить систему уравнений

. Внутри области лежит лишь точка (так как на стороне АВ находится точка ), которая и является стационарной точкой функции. .

Изучим поведение функции на границе треугольника. На сторонах ОА и ОВ, очевидно, , на стороне АВ , поэтому , . Из подчеркнутых значений функции выбираем наибольшее и наименьшее значения: , .