Производная по заданному направлению. Градиент

Из определения частных производных и из механического смысла 1-й производной следует, что и характеризуют скорость изменения функции в положительном направлении осей Ох и Оу соответственно. Но в ряде приложений математического анализа приходится рассматривать вопрос о быстроте изменения функции при смещении точки в произвольном направлении. Решение этого вопроса приводит к понятию производной функции по заданному направлению.

Пусть в некоторой области D задана функция двух переменных . Возьмем в D точку и проведем через нее прямую l. Придадим ей определенное направление. Пусть – точка прямой l, лежащая в D и такая, что отрезок принадлежит D. Разность назовем приращением функции по данному направлению l и обозначим ее через , т.е. . Составим

О х х

у l у M

отношение , взяв длину отрезка со знаком плюс, если направление этого отрезка совпадает с прямой l, и со знаком минус в противном случае. Это отношение называют средней скоростью изменения функции при переходе из точки в точку М по направлению l.

Если существует

,

то он называется производной в точке от функции по направлению l и обозначается или .

Эту производную естественно рассматривать как скорость изменения функции в данной точке по направлению прямой l. При этом определяет величину скорости, а знак производной – возрастание (при и убывание (при функции в направлении l.

Если прямая l совпадает с Ох или Оу, то получаем частные производные и соответственно, т.е. производная по направлению является обобщением частных производных.

Установим достаточные условия существования производной по направлению и формулу для ее вычисления.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке области D, то она имеет в этой точке производную по любому направлению l, причем

, (22.1)

где и – углы, образованные направлением прямой l соответственно с положительными направлениями осей Ох и Оу.

Доказательство. В силу дифференцируемости функции в точке приращение можно записать в виде

,

где при . Отсюда

|см. рисунок| .

Поскольку и постоянны, а (так как и ), имеем

,

т.е. производная существует и

.

Теорема доказана.

В случае функции большего числа переменных производная по направлению определяется и вычисляется аналогично. Например, для функции

,

где – направляющие косинусы прямой l.

Для изучения вопроса о направлении быстрейшего возрастания функции введем в рассмотрение вектор с координатами и . Этот вектор называется градиентом функции в точке и обозначается , а в произвольной точке или . Таким образом,

,

где производные и вычислены в соответствующей точке.

Предположим, что функция дифференцируема в некоторой области. Тогда в любой точке этой области существует производная по любому направлению l, определяемая по формуле (22.1). Выразим эту производную через градиент данной функции. Рассмотрим единичный вектор , имеющий то же направление, что и прямая l. Ясно, что проекции на Ох и Оу равны и , т.е.

l

. Тогда очевидно, что – скалярное произведение, или

, так как , где – угол между векторами и . Таким образом, производная по направлению равна проекции градиента на это

направление.

Из последней формулы видим, что производная по направлению в точке имеет наибольшее значение, и притом положительное, при , т.е. когда производная функции в точке берется по направлению, определяемому градиентом этой функции в точке . При этом

.

Таким образом, модуль градиента дифференцируемой функции равен наибольшему значению , т.е. наибольшей скорости изменения функции z в данной точке, а направление градиента данной функции в рассматриваемой точке совпадает с тем, для которого это наибольшее значение достигается. Ясно, что направление, противоположное градиенту, является направлением наиболее быстрого убывания функции.

Пример 1. Найдем производную функции в точке М(1;2) в направлении, идущем от этой точки к точке N (4;6).

Решение. Имеем , т.е. , частные производные функции поэтому .

Ответ: .

Пример 2. Найдем в точке М (1;2;3), если .

Решение. Имеем .