![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Понятие функции нескольких переменных вводится с помощью понятия отображения множеств, которое было нами введено в 1 семестре.
Определение 1. Пусть Х – множество пар (х; у) действительных чисел. Отображение f Х в R, сопоставляющее каждой паре чисел (х; у) число
, называется функцией двух переменных, заданной на множестве Х. При этом х и у называются аргументами функции f, Х – областью ее определения,
– значением функции. Множество
называется множеством значений функции.
Аналогично определяется функция трех переменных и функция n переменных
, если в качестве Х рассматривать множества систем
и
действительных чисел соответственно.
Определение 2. Естественной областью определения функции нескольких переменных называется множество значений ее аргументов, при которых функция имеет смысл.
Пример 1. Найдем области определения функций ,
,
.
Решение. Все три функции имеют смысл, когда подкоренные выражения неотрицательны, т.е. . В первом случае имеем
– круг с центром в начале координат и радиусом 1, во втором –
– шар с центром в начале координат и радиусом 1, в третьем случае
– n -мерный шар с центром в начале координат и радиусом 1.
Для функции двух переменных можно построить график, т.е. множество всех точек
трехмерного пространства, для которых
, а z – значение функции в точке (х; у). Графиком обычно является некоторая поверхность. Например, графиком функции
является поверхность параболоида вращения, график функции
– полусфера.
z
![]() |
z
![]() | |||
![]() |
|
y y
При график функции
построить невозможно.
Как известно, каждой точке плоскости с заданной декартовой системой координат соответствует единственная пара чисел – ее координат, и наоборот. Поэтому пары чисел и точки плоскости можно отождествлять и для пар чисел применять геометрическую терминологию, называя пару чисел (х; у) точкой плоскости. Аналогично, тройку чисел можно называть точкой трехмерного пространства.
Продолжая аналогию, назовем n -мерной точкой систему n действительных чисел: , а числа
назовем координатами точки М. Множество всех n -мерных точек назовем n-мерным пространством. Обобщая известную формулудля расстояния между двумя точками плоскости, определим расстояние между точками
и
n -мерного пространства формулой
. (18.1)
n -мерное пространство с введенным по формуле (18.1) расстоянием между любыми его двумя точками называется n-мерным евклидовым пространством . При
получаем евклидову плоскость, при
– трехмерное евклидово пространство.
В качестве окрестности точки n -мерного евклидова пространства будем рассматривать n -мерный шар с центром в этой точке, т.е. множество всех точек
пространства
, координаты которых удовлетворяют неравенству
. (18.2)
Определение 3. Предельной точкой данного множества Е точек пространства называется такая точка
, в любой окрестности которой имеется хотя бы одна отличная от
точка М этого множества.
Как и в случае множества одномерного пространства, т.е. множества числовой прямой, предельная точка может принадлежать Е и не принадлежать Е. Например, для множества Е всех точек плоскости вида
, где m и n – любые натуральные числа, точка
– предельная, не принадлежащая этому множеству. Если же множество Е =
(прямоугольник), то все его предельные точки принадлежат этому множеству.
Определение 4. Непустое n -мерное точечное множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
Таким образом, множество не является замкнутым, а прямоугольник Е =
– замкнутое множество. Замкнутыми являются и все пространство
и любое множество, не имеющее ни одной предельной точки (например, любое конечное множество точек).
Определение 5. Точка А данного n -мерного множества Е называется его внутренней точкой, если существует такая окрестность этой точки, которая целиком состоит из точек данного множества. n -мерное точечное множество называется открытым, если все его точки являются внутренними.
Например, круг – открытое множество, открытым множеством является и все пространство
.
Определение 6. Пусть – предельная точка области определения
функции
n переменных. Число l называется пределом этой функции в точке А, если для любого
найдется окрестность точки А такая, что для всех точек
этой окрестности,
, имеет место неравенство
, т.е.
.
Пишут: или
.
Можно дать и другое определение предела функции в точке (на языке последовательностей), равносильное данному определению.
Определение 7. Пусть – предельная точка области определения
функции
. Число l называется пределомэтой функции в точке А, если для любой последовательности точек
, принадлежащих
и сходящихся к А, соответствующая последовательность значений функции
сходится к числу l.
Второе определение особенно полезно при доказательстве того, что функция не имеет предела в данной точке. Для этого достаточно указать две последовательности точек, сходящихся к данной точке, такие, что соответствующие последовательности значений функции сходятся к разным пределам. Часто оказывается удобным брать последовательности точек на кривых, проходящих через предельную точку, причем при движении по кривой координаты могут изменяться и непрерывно.
Пример 2. Покажем, что функция в точке
не имеет предела.
Решение. Заметим, что через начало координат проходит любая прямая вида
, где k = const. Найдем предел функции, когда точка
приближается к точке О по прямой
. Имеем
.
Видим, что величина предела зависит от k, т.е. от пути движения к предельной точке. Поэтому предела нет.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции, предел функции на бесконечности определяются аналогично случаю функции одной переменной.
При вычислении пределов функции нескольких переменных можно использовать замечательные пределы.
Пример 3. при
и
.
На пределы функций нескольких переменных распространяются основные теоремы о пределах, доказанные нами для функций одной переменной: об ограниченности функции, имеющей предел, о пределе суммы, произведения и частного функций, леммы о бесконечно малых функциях и т.д. Доказательства их аналогичны приведенным в 1-м семестре.
Введем теперь понятие непрерывности функции нескольких переменных.
Определение 8. Функция называется непрерывной в точке
, если имеет место равенство
, или,
короче, . В противном случае функция терпит разрыв в точке А, А – точка разрыва функции.
Пример 4. Покажем, что функция непрерывна в каждой точке
.
Решение. Для любой точки , отличной от точки
, по теоремам о пределе функции имеем:
, т.е. в этой точке функция непрерывна.
Для того, чтобы доказать непрерывность функции в точке , заметим, что
. Поскольку
, то и
=
по теореме о промежуточной переменной, т.е. требуемое равенство выполнено.
Пример 5. Исследуем на непрерывность функцию
Решение. Так же, как в примере 4, с помощью теорем о пределе функции доказываем непрерывность функции в точке
, отличной от точки
. Для точки
имеем:
– зависит от k, т.е. предел не существует, поэтому функция разрывна в этой точке.
Таким образом, функция непрерывна на множестве
и терпит разрыв в точке
.
Пример 6. Исследуем на непрерывность функцию .
Решение. Так же, как в примерах 4 и 5, доказывается, что функция непрерывна, если
. Если
, то функция терпит разрыв, так как в этих точках функция не определена, т.е. функция разрывна в точках прямой
.
Для функций нескольких переменных имеет место ряд теорем, аналогичных соответствующим теоремам для функций одной переменной: теоремы о непрерывности суммы, произведения, частного непрерывных функций, сложной функции и т.д. Справедливы также теоремы, аналогичные теоремам Вейерштрасса и Больцано-Коши.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 685 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!