Понятие, предел и непрерывность функции нескольких переменных

Понятие функции нескольких переменных вводится с помощью понятия отображения множеств, которое было нами введено в 1 семестре.

Определение 1. Пусть Х – множество пар (х; у) действительных чисел. Отображение f Х в R, сопоставляющее каждой паре чисел (х; у) число , называется функцией двух переменных, заданной на множестве Х. При этом х и у называются аргументами функции f, Х – областью ее определения, – значением функции. Множество называется множеством значений функции.

Аналогично определяется функция трех переменных и функция n переменных , если в качестве Х рассматривать множества систем и действительных чисел соответственно.

Определение 2. Естественной областью определения функции нескольких переменных называется множество значений ее аргументов, при которых функция имеет смысл.

Пример 1. Найдем области определения функций , , .

Решение. Все три функции имеют смысл, когда подкоренные выражения неотрицательны, т.е. . В первом случае имеем – круг с центром в начале координат и радиусом 1, во втором – – шар с центром в начале координат и радиусом 1, в третьем случае – n -мерный шар с центром в начале координат и радиусом 1.

Для функции двух переменных можно построить график, т.е. множество всех точек трехмерного пространства, для которых , а z – значение функции в точке (х; у). Графиком обычно является некоторая поверхность. Например, графиком функции является поверхность параболоида вращения, график функции – полусфера.

z

z

О

О х x

y y

При график функции построить невозможно.

Как известно, каждой точке плоскости с заданной декартовой системой координат соответствует единственная пара чисел – ее координат, и наоборот. Поэтому пары чисел и точки плоскости можно отождествлять и для пар чисел применять геометрическую терминологию, называя пару чисел (х; у) точкой плоскости. Аналогично, тройку чисел можно называть точкой трехмерного пространства.

Продолжая аналогию, назовем n -мерной точкой систему n действительных чисел: , а числа назовем координатами точки М. Множество всех n -мерных точек назовем n-мерным пространством. Обобщая известную формулудля расстояния между двумя точками плоскости, определим расстояние между точками и n -мерного пространства формулой

. (18.1)

n -мерное пространство с введенным по формуле (18.1) расстоянием между любыми его двумя точками называется n-мерным евклидовым пространством . При получаем евклидову плоскость, при – трехмерное евклидово пространство.

В качестве окрестности точки n -мерного евклидова пространства будем рассматривать n -мерный шар с центром в этой точке, т.е. множество всех точек пространства , координаты которых удовлетворяют неравенству

. (18.2)

Определение 3. Предельной точкой данного множества Е точек пространства называется такая точка , в любой окрестности которой имеется хотя бы одна отличная от точка М этого множества.

Как и в случае множества одномерного пространства, т.е. множества числовой прямой, предельная точка может принадлежать Е и не принадлежать Е. Например, для множества Е всех точек плоскости вида , где m и n – любые натуральные числа, точка – предельная, не принадлежащая этому множеству. Если же множество Е = (прямоугольник), то все его предельные точки принадлежат этому множеству.

Определение 4. Непустое n -мерное точечное множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Таким образом, множество не является замкнутым, а прямоугольник Е = – замкнутое множество. Замкнутыми являются и все пространство и любое множество, не имеющее ни одной предельной точки (например, любое конечное множество точек).

Определение 5. Точка А данного n -мерного множества Е называется его внутренней точкой, если существует такая окрестность этой точки, которая целиком состоит из точек данного множества. n -мерное точечное множество называется открытым, если все его точки являются внутренними.

Например, круг – открытое множество, открытым множеством является и все пространство .

Определение 6. Пусть – предельная точка области определения функции n переменных. Число l называется пределом этой функции в точке А, если для любого найдется окрестность точки А такая, что для всех точек этой окрестности, , имеет место неравенство

, т.е. .

Пишут: или .

Можно дать и другое определение предела функции в точке (на языке последовательностей), равносильное данному определению.

Определение 7. Пусть – предельная точка области определения функции . Число l называется пределомэтой функции в точке А, если для любой последовательности точек , принадлежащих и сходящихся к А, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу l.

Второе определение особенно полезно при доказательстве того, что функция не имеет предела в данной точке. Для этого достаточно указать две последовательности точек, сходящихся к данной точке, такие, что соответствующие последовательности значений функции сходятся к разным пределам. Часто оказывается удобным брать последовательности точек на кривых, проходящих через предельную точку, причем при движении по кривой координаты могут изменяться и непрерывно.

Пример 2. Покажем, что функция в точке не имеет предела.

Решение. Заметим, что через начало координат проходит любая прямая вида , где k = const. Найдем предел функции, когда точка приближается к точке О по прямой . Имеем

.

Видим, что величина предела зависит от k, т.е. от пути движения к предельной точке. Поэтому предела нет.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции, предел функции на бесконечности определяются аналогично случаю функции одной переменной.

При вычислении пределов функции нескольких переменных можно использовать замечательные пределы.

Пример 3. при и .

На пределы функций нескольких переменных распространяются основные теоремы о пределах, доказанные нами для функций одной переменной: об ограниченности функции, имеющей предел, о пределе суммы, произведения и частного функций, леммы о бесконечно малых функциях и т.д. Доказательства их аналогичны приведенным в 1-м семестре.

Введем теперь понятие непрерывности функции нескольких переменных.

Определение 8. Функция называется непрерывной в точке , если имеет место равенство , или,

короче, . В противном случае функция терпит разрыв в точке А, А – точка разрыва функции.

Пример 4. Покажем, что функция непрерывна в каждой точке .

Решение. Для любой точки , отличной от точки , по теоремам о пределе функции имеем: , т.е. в этой точке функция непрерывна.

Для того, чтобы доказать непрерывность функции в точке , заметим, что

. Поскольку , то и = по теореме о промежуточной переменной, т.е. требуемое равенство выполнено.

Пример 5. Исследуем на непрерывность функцию

Решение. Так же, как в примере 4, с помощью теорем о пределе функции доказываем непрерывность функции в точке , отличной от точки . Для точки имеем: – зависит от k, т.е. предел не существует, поэтому функция разрывна в этой точке.

Таким образом, функция непрерывна на множестве и терпит разрыв в точке .

Пример 6. Исследуем на непрерывность функцию .

Решение. Так же, как в примерах 4 и 5, доказывается, что функция непрерывна, если . Если , то функция терпит разрыв, так как в этих точках функция не определена, т.е. функция разрывна в точках прямой .

Для функций нескольких переменных имеет место ряд теорем, аналогичных соответствующим теоремам для функций одной переменной: теоремы о непрерывности суммы, произведения, частного непрерывных функций, сложной функции и т.д. Справедливы также теоремы, аналогичные теоремам Вейерштрасса и Больцано-Коши.