Частные производные и дифференциал функции нескольких переменных

Рассмотрим функцию двух переменных , определенную в некоторой области . Возьмем в области произвольную точку , придадим аргументу х приращение , а аргумент у оставим без изменения, т.е. перейдем от точки к точке , тоже принадлежащей области .Тогда функция получит частное приращение , соответствующее приращению только одного аргумента х: = . Составим отношение . Если существует конечный предел этого отношения при , то он называется частной производной функции по независимой переменной х в точке и обозначается или . Иными словами,

= = = .

Аналогично определяются частная производная функции по независимой переменной у в точке :

= = =

и частные производные функции любого числа переменных. Например, для функции

= = = .

Из определения частной производной следует и правило для нахождения частных производных. Например, чтобы найти частную производную функции по х в точке , нужно считать аргумент у постоянным и дифференцировать как функцию одной переменной х. Затем в полученное выражение вместо х и у подставить и .

Пример 1. Найдем частные производные и функции в точке .

Решение. Имеем

= , ; = , .

Подсчитаем теперь изменение функции при переходе от точки к точке области определения функции. Разность значений функции в точках и М называется полным приращением функции при переходе из точки М в точку , обозначается или , т.е. = = – . При переходе из точки М в точку аргументы тоже получают приращения и . Тогда можно записать в виде . Геометрически полное приращение функции означает приращение аппликаты z при переходе из точки М в точку .

При определении дифференциала функции одной переменной важную роль играла форма записи приращения функции . Если , где при , то функцию называли дифференцируемой, а первое слагаемое в выражении для – дифференциалом функции . Аналогичная ситуация имеет место и в случае функции нескольких переменных.

Определение 1. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

, (19.1)

где А и В не зависят от приращений и , а и – некоторые функции от и , стремящиеся к нулю при и . Выражение называется полным дифференциалом функции и обозначается или , а его слагаемые и называются частными дифференциалами функции по х и по у соответственно и обозначаются и .

Таким образом, = , = , = , где А и В не зависят от и .

Теорема 1. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. В силу дифференцируемости функции в точке можно записать . Отсюда следует, что при и , т.е. . Следовательно, или , что и означает непрерывность функции в точке . Теорема доказана.

Теорема 2 (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке , то она в этой точке имеет частные производные и .

Доказательство. Поскольку функция дифференцируема, имеем представление . Пусть , . Тогда . Аналогично, если , , то . Так как А и В конечны, то и тоже конечны, следовательно, существуют. Теорема доказана.

Поскольку полный дифференциал = , подставляя и , получим выражение дифференциала через частные производные: = . Отсюда при и находим и , поэтому = .

Аналогичное выражение имеет место и для функции любого числа переменных, т.е. если , то .

В случае функции одной переменной существования производной было достаточно для дифференцируемости функции. Для функции нескольких переменных ситуация другая: существования частных производных не достаточно для ее дифференцируемости. Имеет место

Теорема 3. Если существуют частные производные функции , непрерывные в точке , то в этой точке функция дифференцируема.

Доказательство. Поскольку, по условию, частные производные непрерывны в точке , они существуют в некоторой окрестности этой точки. Рассмотрим приращение данной функции при переходе из точки в точку , которая принадлежит указанной окрестности:

.

В первой квадратной скобке получилось приращение функции при переходе из точки в точку , при этом изменилась только одна переменная х. Поэтому по формуле Лагранжа можно записать:

.

Аналогично, для второй квадратной скобки имеем:

.

Тогда полное приращение

.

В силу непрерывности частных производных в точке имеем:

, .

Следовательно, при и , при и . Тогда

.

Таким образом, приращение представлено в виде (19.1), поэтому функция дифференцируема в точке . Теорема доказана.

Выведем теперь формулы для вычисления производных сложной функции нескольких переменных. Сначала рассмотрим случай дифференцируемой функции , аргументы которой зависят от одной переменной t, т.е. , причем функции и тоже дифференцируемы. Нужно найти производную . Пусть аргумент t получает приращение . Тогда х и у получат соответствующие приращения , , причем и при в силу непрерывности дифференцируемой функции. Функция тоже получит приращение в силу ее дифференцируемости. Отсюда

, .

Таким образом,

. (19.1)

Заметим, что знак пишется тогда, когда находится частная производная функции по одной из нескольких переменных, знак d – тогда, когда производная находится по основному аргументу, и этот аргумент единственный.

Может получиться так, что у функции переменная у зависит от х, т.е. . Тогда основным аргументом является х и формула (19.1) принимает вид

.

В случае, когда количество аргументов у функции z больше двух, но все они зависят от одного аргумента t, то получается формула, аналогичная формуле (19.1). Например, для функции , где имеем

. (19.2)

Теперь рассмотрим случай, когда основных аргументов два, а не один. Пусть . Здесь уже производные по основным аргументам будут частными производными (их два). Положим и найдем , воспользовавшись формулой (19.1):

.

Аналогично,

.

В случае большего числа переменных формулы получаются аналогично.

Для функции одной переменной известно, что форма дифференциала остается неизменной, если заменить независимую переменную х функцией. Имеет ли место это свойство для функции нескольких переменных? Выясним это.

Если , где х и у – независимые переменные, то, как показано выше,

.

Пусть теперь х и у – функции, . Поскольку теперь ухе u и v – независимые переменные, имеем

.

(предполагаем, что для всех функций выполняются достаточные условия дифференцируемости). По правилу дифференцирования сложной функции

, ,

поэтому

, т.е. формула для вычисления дифференциала сохраняется и в случае, когда х и у – функции. Таким образом, форма дифференциала является инвариантной, т.е. неизменной и для независимых переменных х и у, и для функций х и у.

Рассмотрим теперь частные производные и дифференциалы высших порядков. Пусть . Для функций большего числа переменных рассуждения аналогичны.

Частные производные и в свою очередь могут оказаться функциями двух переменных. Если от них снова найти частные производные, то они называются частными производными 2-го порядка и обозначаются при этом и называются смешанными производными. Например, для функции . Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т.д. порядка.

Видим, что в приведенном примере . Всегда ли так будет или это случайное совпадение? Имеет место

Теорема 4 (о равенстве смешанных производных). Если функция : 1) определена в открытой области D; 2) в этой области существуют первые производные и , а также вторые смешанные производные и ; 3) производные и непрерывны в некоторой точке области D, то

.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательное выражение

, (19.3)

где h и k отличны от нуля и настолько малы, что в D содержится весь прямоугольник . Пусть – вспомогательная функция, дифференцируемая на отрезке в силу 2-го условия теоремы и, следовательно, непрерывная. Имеем . Выражение (19.3) с помощью записывается следующим образом:

. (19.4)

С помощью формулы Лагранжа последнее равенство запишется в виде

.

Поскольку существует, по формуле Лагранжа по у получаем

.

Рассуждая аналогично, с помощью вспомогательной функции

из (19.3) получим , поэтому

= .

Переходя в последнем равенстве к пределу при и и учитывая, что и смешанные производные непрерывны, получим

= .

Теорема доказана.

Пусть – функция двух независимых переменных х и у, дифференцируемая в области D. Тогда в этой области функция имеет полный дифференциал

,

где . Зафиксируем и . Тогда дифференциал является функцией только переменных х и у, определенной в области D. Полный дифференциал от дифференциала называется дифференциалом 2-го порядка или вторым дифференциалом функции и обозначается или . Таким образом, по определению . Учитывая, что и постоянны, находим

.

Предполагая частные производные второго порядка непрерывными в области D, получим, что смешанные производные равны и

.

Аналогично, если в области D функция имеет непрерывные частные производные 3-го порядка, то дифференциал от дифференциала называется ее дифференциалом 3-го порядка или третьим дифференциалом и вычисляется по формуле

,

и т.д.

Символически можно записать

,

,

.

Здесь правую часть нужно понимать так: двучлен в скобках возводится формально в соответствующую степень и результат почленно умножается на z, полученные произведения считаются производными соответствующих порядков.

Пример 2. Для функции найдем в точке .

Решение. Найдем частные производные 3-го порядка данной функции, вычислим их в данной точке и подставим в формулу для . Имеем

и

.

В случае большего числа переменных формулы получаются аналогично. Например, для функции

.

Если переменные х и у не являются независимыми переменными, то (как и в случае функции одной переменной) форма записи дифференциалов высших порядков изменяется, т.е. дифференциалы высших порядков не обладают свойством инвариантности их формы. Например, для функции

.

Здесь уже х и у – функции, поэтому и – функции, и и не равны нулю.