Інтегрування частинами в невласному інтегралі

Нехай дві функції, визначені і неперервні на , скінчене, функції також неперервні на .

Як відомо, для будь-якого має місце формула інтегрування частинами

.

Якщо два із цих трьох членів існують, коли прямує до , то третій член також має скінчену границю. Зокрема, коли існують і або існують і , то

.

Таким чином, інтегрування частинами на некомпактному проміжку необхідно застосовувати обережно.

Приклад 4.1. Розглянемо функцію (називається „інтегральний синус”), яка є первісною для функції

тобто

.

Покладемо , тоді

.

Але є похідна функції .

Нехай , . Тоді

,

оскільки .

Нехай тепер неперервна на функція, визначена як , , . Маємо

.

Зрозуміло, що , , а тому коли прямує до нескінченості, то прямує до нуля. Тоді

. (4.1)

Неважко встановити збіжність , оскільки , :

і на будь-якому проміжку ,

.

Як відомо, збігається, а тому збігається (при тому і абсолютно) і .

Як буде показано в теорії рядів , отже, в цьому прикладі інтегрування частинами переводить інтеграл, який збігається абсолютно, у збіжний інтеграл, але не абсолютно.