Заміна змінної в невласному інтегралі

Нехай функція визначена на некомпактному проміжку і неперервна. Нехай є така первісна для неперервної функції на інтервалі , що ( - скінчені числа). Тоді, як відомо, для будь-якого

Припустимо, що існує, і що має границю , коли прямує до . Тоді

.

Отже, за вказаними умовами в інтегралі на некомпактному проміжку можна виконувати заміну змінної, тобто можна знайти функцію з неперервною першою похідною, яка виконує взаємно однозначне і взаємно неперервне відображення між та таке, що , . Тоді і

.

Зокрема, якщо збігається абсолютно і така неперервна строго зростаюча функція з неперервною (і невід’ємною) першою похідною , що , то

,

Абсолютна збіжність при вказаній заміні зберігається.

Приведемо два наслідка:

а) нехай неперервна функція на компактному інтервалі . Тоді

.

При цьому функція неперервна на , але не обов’язково на , ( - скінчені, , ).

Приклад 3.1. Нехай на і нехай , , .

Маємо

.

Таким чином, у результаті вибраної заміни інтеграл від обмеженої функції на переходить в інтеграл від необмеженої функції на .

б) припустимо, що - скінчені, - скінчене, , неперервна на , , . Тоді

.

Приклад 3.2.

Приклад 3.3. Нехай

.

Тоді

.

Приклад 3.4. Нехай

.

Тоді

.